5.13 相似変換

定理 5.34 (相似変換)   行列 $A$ と行列 $B=P^{-1}AP$ との固有値は等しい． ただし $P$ はある正則行列とする．

（証明）    

$$g_B(t) = \det(tE-B)= \det(tE-P^{-1}AP)= \det(tP^{-1}EP-P^{-1}AP)= \det(P^{-1}(tE-A)P)$$

$$= \det(P^{-1})\det(tE-A)\det(P)= \det(P^{-1})\det(P)\det(tE-A)$$

$$= \frac{1}{\det(P)}\det(P)\det(tE-A)= \det(tE-A)= g_A(t)$$

となるので $B$ と $A$ の固有値は等しい．

定義 5.35 (相似)   正方行列 $A$, $B$ に対して $B=P^{-1}AP$ をみたすある正則行列 $P$ が存在するとき， $A$ と $B$ とは相似（similar）または 同値（equivalent）であるという．

定義 5.36 (相似変換)   正方行列 $A$ がある正則行列 $P$ を用いて， 正方行列

$$B=P^{-1}AP$$

へ変換されるとき， この変換 $A\mapsto B$ を 相似変換（similarity transformation）または 同値変換（equivalent transformation）という．

平成20年2月2日