5.14 行列の対角化

定義 5.37 (対角化)   正方行列 $A$ を相似変換により対角行列 $D$ に変換することを 対角化という． すなわち，

$$D=P^{-1}AP$$

をみたす対角行列 $D$ と正則行列 $P$ を 定めることを対角化いう．

$D$, $P\in\mathbb{R}^{n\times n}$ が存在するとき， $A$ は実数体上で対角化されるという． $D$, $P\in\mathbb{C}^{n\times n}$ が存在するとき， $A$ は複素数体上で対角化されるという．

注意 5.38 (対角化)   正方行列 $A$ は常に対角化可能とは限らない．

注意 5.39 (対角化と固有値)   $D$ は $A$ の相似変換により定まるので両者の固有値は等しく， 対角行列 $D=\begin{bmatrix}d_{ij}\delta_{ij}\end{bmatrix}$ の 対角成分 $d_{11},d_{22},\cdots,d_{nn}$ が固有値となる． なぜなら，

$$g_{A}(t)=g_{D}(t)=\det(tE-D)= \begin{vmatrix}t-d_{11}\!& & & \sma... ...{\huge$0$}}& & & \!t-d_{nn} \end{vmatrix} =(t-d_{11})(t-d_{22})\cdots(t-d_{nn})$$

となるからである． よって行列 $A$ の固有値を $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ とすると $D$ は

$$D= \begin{bmatrix}\lambda_1 & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\text{\... ...\lambda_2 \\ & & \ddots \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & & \lambda_n \end{bmatrix}$$

と表される．

定義 5.40 (対角行列)   対角行列

$$D= \begin{bmatrix}\lambda_1 & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\text{\... ...\lambda_2 \\ & & \ddots \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & & \lambda_n \end{bmatrix}$$

を省略記号として

$$D=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$$

と表す．

行列 $A$ の固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\cdots$, $\lambda_n$ とする． ただし，重複する固有値は別のものとして考える． $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\cdots$, $\lambda_n$ に 属する固有ベクトルをそれぞれ $\vec{p}_1$, $\vec{p}_2$, $\cdots$, $\vec{p}_n$ とする． このとき固有方程式 $A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ より

$$A\vec{p}_1=\lambda_1\vec{p}_1,\quad A\vec{p}_2=\lambda_2\vec{p}_2,\quad \cdots,\quad A\vec{p}_n=\lambda_n\vec{p}_n$$

が成り立つ． これを列ベクトルとして並べると

$$\begin{bmatrix}A\vec{p}_1 & A\vec{p}_2 & \cdots & A\vec{p}_n \end... ...A \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 & \cdots & \vec{p}_n \end{bmatrix} = AP,$$

$$\begin{bmatrix}A\vec{p}_1 & A\vec{p}_2 & \cdots & A\vec{p}_n \end... ... & \!\ddots\! \\ \smash{\text{\huge$0$}}\! & & & \!\lambda_n \end{bmatrix} = PD$$

となる． これより $AP=PD$ が成り立つ． $P$ が正則行列であれば 左から $P^{-1}$ を掛けて

$$D=P^{-1}AP$$

が成り立つ． $P$ が正則行列となるための 必要十分条件は $\vec{p}_1$, $\vec{p}_2$, $\cdots$, $\vec{p}_n$ が 1 次独立であることである．

定理 5.41 (対角化)   正方行列 $A$ の固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\cdots$, $\lambda_n$ とし， その固有ベクトルをそれぞれ $\vec{p}_1$, $\vec{p}_2$, $\cdots$, $\vec{p}_n$ とする． $\vec{p}_1$, $\vec{p}_2$, $\cdots$, $\vec{p}_n$ が 1 次独立であるとき， $A$ は

$$D=P^{-1}AP, \qquad D=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\... ...quad P= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 & \cdots & \vec{p}_n \end{bmatrix}$$

により対角化される．

定理 5.42 (固有ベクトルの 1 次独立性)   固有値 $\lambda_1$, $\cdots$, $\lambda_n$ が 互いに異なるとき， 固有ベクトル $\vec{p}_1$, $\cdots$, $\vec{p}_n$ は 1 次独立である．

（証明）     $\vec{p}_1$, $\cdots$, $\vec{p}_n$ の 1 次独立なベクトルの最大個数を $r$ とする． $\vec{p}_1$, $\cdots$, $\vec{p}_r$ を 1 次独立とし， $\vec{p}_1$, $\cdots$, $\vec{p}_r$, $\vec{p}_{r+1}$ を 1 次従属とする． このとき

$$\vec{p}_{r+1} = c_1\vec{p}_1+c_2\vec{p}_2+\cdots+c_{r}\vec{p}_{r}$$

と書ける． 両辺に $A$ を掛けると

$$A\vec{p}_{r+1} = c_1A\vec{p}_1+c_2A\vec{p}_2+\cdots+c_{r}A\vec{p}_{r}$$

$$\lambda_{r+1}\vec{p}_{r+1} = c_1\lambda_1\vec{p}_1+ c_2\lambda_2\vec{p}_2+ \cdots+ c_{r}\lambda_{r}\vec{p}_{r}$$

となる． また， $\lambda_{r+1}$ を掛けると

$$\lambda_{r+1}\vec{p}_{r+1} = c_1\lambda_{r+1}\vec{p}_1+ c_2\lambda_{r+1}\vec{p}_2+ \cdots+ c_{r}\lambda_{r+1}\vec{p}_{r}$$

となる． これらを差引すると

$$(\lambda_{r+1}-\lambda_{r+1})\vec{p}_{r+1} = c_1(\lambda_{r+1}-\lambda_1)\vec{p}_1+ c_2(\lambda_{r+1}-\lambda_2)\vec{p}_2+ \cdots+ c_{r}(\lambda_{r+1}-\lambda_n)\vec{p}_{r}$$

$$\vec{0} = c_1(\lambda_{r+1}-\lambda_1)\vec{p}_1+ c_2(\lambda_{r+1}-\lambda_2)\vec{p}_2+ \cdots+ c_{r}(\lambda_{r+1}-\lambda_r)\vec{p}_{r}$$

を得る． これは $\vec{p}_1$, $\cdots$, $\vec{p}_r$ の 1 次関係である． $\vec{p}_1$, $\cdots$, $\vec{p}_r$ は 1 次独立であり， 固有値は互いに異なる $\lambda_1\neq\lambda_{r+1}$, $\lambda_2\neq\lambda_{r+1}$, $\cdots$, $\lambda_r\neq\lambda_{r+1}$ ので， $c_1=c_2=\cdots=c_r=0$ となる． このとき $\vec{p}_{r+1}=\vec{0}$ である． 固有値は零ベクトルとはならないので， 条件は矛盾する． よって， $\vec{p}_1$, $\cdots$, $\vec{p}_r$, $\vec{p}_{r+1}$ は 1 次独立である． すべての $r=1,2,\cdots$ 対して成り立つので $r=n$ を得る．

平成20年2月2日