3.22 一般の場合での 1 次独立なベクトルの最大個数
定理 3.90 ( 1 次独立なベクトルと行列) ベクトル,
,
,
が 1 次独立であり, ベクトル
,
,
,
が
をみたす.
- (i).
の 1 次関係と
の 1 次関係は等しい.
- (ii).
- 特に
のとき,
が 1 次独立であることと,
が正則であることとは,必用十分条件である.
(証明) (i) ベクトル
,
,
の 1 次関係は
となる.,
,
は 1 次独立であるから,
となる.
より
を得る. これは,
,
の 1 次関係である. (ii)
のとき
は正方行列であるから,
,
,
が 1 次独立であることと
が正則であることは等価である.
例 3.91 ( 1 次独立なベクトルと行列) ベクトル空間のベクトル
が 1 次独立であるか調べる. まず,ベクトルは明らかに 1 次独立である. このとき
と
とは
☆
の関係にある. 次にの 1 次関係は
0
と表される. (☆)を用いると
となり,に関する 1 次関係を得る.
は 1 次独立であるから
が 成立する. よって
は
をみたす.
とおくと,
となるので,と
の 1 次関係は等しい. ここで,行列
を簡約化して
とおく. このときある正則行列を用いて
と表されるから,
より
が成り立つので,
と
の 1 次関係は等しい. よって,
の 1 次関係は
の 1 次関係より定まる.
より,は 1 次独立である.
,
は
の 1 次結合で表される. よって
の 1 次独立なベクトルの 最大個数は
である. 行列
の列ベクトルに対しても同じ 1 次関係が成り立つので,
は 1 次独立である. 残りのベクトルは
,
と 1 次結合で表される.
の 1 次独立なベクトルの 最大個数は
である.
にも同じ 1 次関係が成り立つので,
は 1 次独立である. 残りのベクトルは
,
と 1 次結合で表される. よって
の 1 次独立なベクトルの最大個数は
である.
平成20年2月2日