3.22 一般の場合での 1 次独立なベクトルの最大個数

定理 3.90 ( 1 次独立なベクトルと行列)   ベクトル $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\cdots$, $\vec{u}_m\in V$ が 1 次独立であり， ベクトル $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\cdots$, $\vec{v}_n\in V$ が

$$\left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_n\right)=... ...,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)A, \qquad A=[a_{ij}]_{m\times n}$$

をみたす．

(i).

$\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n$ の 1 次関係と $\vec{a}_1,\cdots,\vec{a}_n$ の 1 次関係は等しい．

(ii).

特に $m=n$ のとき， $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n$ が 1 次独立であることと， $A$ が正則であることとは，必用十分条件である．

（証明）     (i) ベクトル $\vec{v}_1$, $\cdots$, $\vec{v}_n$ の 1 次関係は

$$\vec{0} = c_1\vec{v}_1+\cdots+c_n\vec{v}_n = \left(\vec{v}_1,\,\, \cdots,... ...v}_n\right)\vec{c} = \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)A \vec{c}$$

$$= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)\tilde{\vec{c}}$$

となる． $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_m$ は 1 次独立であるから， $\tilde{\vec{c}}=\vec{0}$ となる． $A\vec{c}=\tilde{\vec{c}}=\vec{0}$ より

$$\vec{0}=A\vec{c}= \begin{bmatrix}\vec{a}_1 & \cdots & \vec{a}_n \... ...bmatrix}c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} = c_1\vec{a}_1+ \cdots+ c_n\vec{a}_n$$

を得る． これは $\vec{a}_1$, $\cdots$, $\vec{a}_n$ の 1 次関係である． (ii) $m=n$ のとき $A$ は正方行列であるから， $\vec{a}_1$, $\cdots$, $\vec{a}_n$ が 1 次独立であることと $A$ が正則であることは等価である．

例 3.91 ( 1 次独立なベクトルと行列)   ベクトル空間 $\mathbb{R}[x]_3$ のベクトル

$$f_1(x) =1+x+3x^2, f_2(x) =1+2x-x^3, f_3(x) =1+3x-3x^2-2x^3,$$

$$f_4(x) =-2-4x+x^2-x^3, f_5(x) =-1-4x+7x^2$$

が 1 次独立であるか調べる． まず，ベクトル $1,x,x^2,x^3\in\mathbb{R}[x]_3$ は明らかに 1 次独立である． このとき $f_1,\cdots,f_5$ と $1,x,x^2,x^3$ とは

$$( ) \qquad \left(f_1,\,\, f_2,\,\, f_3,\,\, f_4,\,\, f_5\right)= \l... ...\ 0 & -1 & -2 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2,\,\, x^3\right)A$$

の関係にある． 次に $f_1,\cdots,f_5$ の 1 次関係は

$$= c_1f_1+ c_2f_2+ c_3f_3+ c_4f_4+ c_5f_5 = \left(f_1,\,\, f_2,\,\... ...c_5 \end{bmatrix} = \left(f_1,\,\, f_2,\,\, f_3,\,\, f_4,\,\, f_5\right)\vec{c}$$ 0

と表される． (☆)を用いると

$$0= \left(f_1,\,\, \cdots,\,\, f_5\right)\vec{c}= \left(1,\,\, x,\... ...\,\, x,\,\, x^2,\,\, x^3\right)\tilde{\vec{c}}, \qquad \tilde{\vec{c}}=A\vec{c}$$

となり， $1,x,x^2,x^3$ に関する 1 次関係を得る． $1,x,x^2,x^3$ は 1 次独立であるから $\tilde{\vec{c}}=\vec{0}$ が 成立する． よって $\vec{c}$ は $A\vec{c}=\vec{0}$ をみたす． $A=\begin{bmatrix}\vec{a}_1 & \cdots & \vec{a}_5 \end{bmatrix}$ とおくと，

$$\vec{0}= c_1\vec{a}_1+ c_2\vec{a}_2+ c_3\vec{a}_3+ c_4\vec{a}_4+ c_5\vec{a}_5$$

となるので， $f_1,\cdots,f_5$ と $\vec{a}_1,\cdots,\vec{a}_5$ の 1 次関係は等しい． ここで，行列 $A$ を簡約化して

$$A\to B= \begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 \... ...bmatrix}\vec{b}_1 & \vec{b}_2 & \vec{b}_3 & \vec{b}_4 & \vec{b}_5 \end{bmatrix}$$

とおく． このときある正則行列 $P$ を用いて $B=PA$ と表されるから， $A\vec{c}=\vec{0}$ より $B\vec{c}=PA\vec{c}=P\vec{0}=\vec{0}$ が成り立つので， $\vec{a}_1,\cdots,\vec{a}_5$ と $\vec{b}_1,\cdots,\vec{b}_5$ の 1 次関係は等しい． よって， $f_1,\cdots,f_5$ の 1 次関係は $\vec{b}_1,\cdots,\vec{b}_5$ の 1 次関係より定まる．

$$\vec{b}_1= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} =\vec{e}... ...ec{b}_3= \begin{bmatrix}-1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} =-\vec{b}_1+2\vec{b}_2,$$

$$\vec{b}_4= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} =\vec{e}... ... \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} =2\vec{b}_1-\vec{b}_2+\vec{b}_4$$

より， $\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_4$ は 1 次独立である． $\vec{b}_3$, $\vec{b}_5$ は $\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_4$ の 1 次結合で表される． よって $\vec{b}_1,\cdots,\vec{b}_5$ の 1 次独立なベクトルの 最大個数は $3=\mathrm{rank}\,A$ である． 行列 $A$ の列ベクトルに対しても同じ 1 次関係が成り立つので， $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_4$ は 1 次独立である． 残りのベクトルは $\vec{a}_3=-\vec{a}_1+2\vec{a}_2$, $\vec{a}_5=2\vec{a}_1-\vec{a}_2+\vec{a}_4$ と 1 次結合で表される． $\vec{a}_1,\cdots,\vec{a}_5$ の 1 次独立なベクトルの 最大個数は $3=\mathrm{rank}\,A$ である． $f_1,\cdots,f_5$ にも同じ 1 次関係が成り立つので， $f_1,f_2,f_4$ は 1 次独立である． 残りのベクトルは $f_3=-f_1+2f_2$, $f_5=2f_1-f_2+f_4$ と 1 次結合で表される． よって $f_1,\cdots,f_5$ の 1 次独立なベクトルの最大個数は $3=\mathrm{rank}\,A$ である．

平成20年2月2日