3.34 座標

定義 3.136 (座標)   ベクトル空間 $V$ と その基底を $\Sigma=\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ とする． このとき $V$ の任意の元 $\vec{a}$ は

$$\vec{a}= x_{1}\vec{u}_{1}+ x_{2}\vec{u}_{2}+ \cdots+ x_{n}\vec{u}... ...t)\begin{bmatrix}x_1 \\ [-1ex] x_2 \\ [-1ex] \vdots \\ [-1ex] x_n \end{bmatrix}$$

と表せる． 線形結合の係数の組

$$(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})_{\Sigma}$$

を基底 $\Sigma$ における座標（coordinate）という． また，誤解がないときは単に $(x_1,\cdots,x_n)$ と表記する．

注意 3.137 (列行列の成分)   $\mathbb{R}^n$ の 標準基底 $\Sigma=\{\vec{e}_{1}$, $\vec{e}_{2}$, $\cdots$, $\vec{e}_{n}\}$ における任意のベクトル $\vec{a}$ の座標を $(x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n})_{\Sigma}$ とする． このとき，

$$\vec{a}= x_{1}\vec{e}_{1}+ x_{2}\vec{e}_{2}+ \cdots+ x_{n}\vec{e}... ...x}x_{1} \\ [-1ex] x_{2} \\ [-1ex] \vdots \\ [-1ex] x_{n} \end{bmatrix}= \vec{x}$$

と書ける． 列ベクトル $\vec{x}$ の成分の組 $(x_1,\cdots,x_n)$ は 標準基底における座標と見なされる．

例 3.138 (座標の具体例)   $\mathbb{R}^2$ の点 $(x_1,x_2)$ の位置ベクトルを $\vec{x}$ とする． $(x_1,x_2)$ は標準基底 $\Sigma=\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$ における 座標 $(x_1,x_2)_{\Sigma}$ とみなせるから，

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} =x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2$$

と表される． 次に基底

$$\Sigma'= \{\vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2\}= \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$$

における座標を $(x'_1,x'_2)_{\Sigma'}$ とすると，

$$\vec{x}=x'_1\vec{u}_1+x'_2\vec{u}_2 = \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix} =U\vec{x}'$$

と書ける． このとき

$$\vec{x}'=U^{-1}\vec{x} \qquad\Leftrightarrow\qquad x'_1=\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}x_2, \qquad x'_2=\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}x_2$$

が成り立つ． よって $\Sigma'$ における座標は $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1-x_2}{2}\right)_{\Sigma'}$ となる． 例えば点 $(1,0)_{\Sigma}$, $(0,1)_{\Sigma}$, $(1,1)_{\Sigma}$ は $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)_{\Sigma'}$, $\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)_{\Sigma'}$, $(1,0)_{\Sigma'}$ となる．

例 3.139 (座標の具体例)   $\mathbb{R}[x]_n$ のベクトルは多項式

$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$$

である．任意の $f$ の基底 $\Sigma=\{1,x,x^2,\cdots,x^n\}$ における 座標は $(a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n)_{\Sigma}$ である．

平成20年2月2日