3.35 基底の変換

ベクトル空間の基底の取り方は一意ではないので, あるベクトル空間 $ V$ に対して

$\displaystyle V= \left\langle \vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \ve...
...ngle \vec{u}'_{1},\,\, \vec{u}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_{n} \right\rangle$    

が成り立つ. ここで $ \{\vec{u}_{1}$, $ \vec{u}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}_{n}\}$ $ \{\vec{u}'_{1}$, $ \vec{u}'_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}'_{n}\}$ とは 異なる基底の組である. 片方の組を基底とみなせば片方は 1 次従属なベクトルであるから,

$\displaystyle \vec{u}'_{1}$ $\displaystyle = p_{11}\vec{u}_{1}+p_{11}\vec{u}_{2}+\cdots+p_{n1}\vec{u}_{n},$    
$\displaystyle \vec{u}'_{2}$ $\displaystyle = p_{12}\vec{u}_{1}+p_{12}\vec{u}_{2}+\cdots+p_{n2}\vec{u}_{n},$    
$\displaystyle \vdots$    
$\displaystyle \vec{u}'_{n}$ $\displaystyle = p_{1n}\vec{u}_{1}+p_{1n}\vec{u}_{2}+\cdots+p_{nn}\vec{u}_{n}$    

と書ける. ここで $ p_{ij}$ はある定数である. この関係式は

$\displaystyle \left(\vec{u}'_{1},\,\, \vec{u}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_{n...
...\vec{u}_{n} \right)P, \qquad P= \begin{bmatrix}p_{ij} \end{bmatrix}_{n\times n}$    

とも表される.

定義 3.140 (基底の変換行列)   ベクトル空間 $ V$ の基底 $ \{\vec{u}_{1}$, $ \vec{u}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}_{n}\}$ と基底 $ \{\vec{u}'_{1}$, $ \vec{u}'_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}'_{n}\}$ に対して

$\displaystyle \left(\vec{u}'_{1},\,\, \vec{u}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_{n...
...ight)= \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n} \right)P$    

をみたす行列 $ P$基底の変換行列という.

注意 3.141 (基底の変換行列)   数ベクトル空間( $ \mathbb{R}^n$ または $ \mathbb{C}^n$)における 基底の変換は

$\displaystyle \begin{bmatrix}\vec{u}'_{1} & \vec{u}'_{2} & \cdots & \vec{u}'_{n...
...x}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} & \cdots & \vec{u}_{n} \end{bmatrix}P, \qquad U'=UP$    

とも表される.

注意 3.142 (基底の変換行列の正則性)   $ \{\vec{u}_{1}$, $ \cdots$, $ \vec{u}_{n}\}$ $ \{\vec{u}'_{1}$, $ \cdots$, $ \vec{u}'_{n}\}$ は 1 次独立であるから, 基底の変換行列 $ P$ は正則である.

3.143 (基底の変換行列の具体例)   $ \mathbb{R}^2$ において 標準基底 $ \{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$ から 基底

$\displaystyle \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}= \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$    

への変換行列 $ P$ を求める. $ P$

$\displaystyle \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2}\right)= \left(\vec{e}_{1},\,\, \vec{e}_{2}\right)P$    

をみたす.

方法 1: まず,

$\displaystyle \vec{u}_1= \begin{bmatrix}u_{11} \\ u_{21} \end{bmatrix}= u_{11}\...
... \begin{bmatrix}u_{12} \\ u_{22} \end{bmatrix}= u_{12}\vec{e}_1+u_{22}\vec{e}_2$    

とおくと

$\displaystyle \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2}\right)= \left(u_{11}\vec{e}_1+...
...ec{e}_1,\,\, \vec{e}_2\right)\begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix}$    

となる. よって

$\displaystyle P=U= \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$    

を得る.

方法 2: または,$ P$

$\displaystyle \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\vec{e}_{1} & \vec{e}_{2} \end{bmatrix} P, \qquad U=EP$    

をみたすので $ P=U$ を得る.

定理 3.144 (基底の変換行列)   ベクトル空間 $ V$ において, 基底 $ \{\vec{u}_{1}$, $ \cdots$, $ \vec{u}_{n}\}$ から 基底 $ \{\vec{u}'_{1}$, $ \cdots$, $ \vec{u}'_{n}\}$ への 変換行列を $ P$ とし, 基底 $ \{\vec{u}_{1}$, $ \cdots$, $ \vec{u}_{n}\}$ から 基底 $ \{\vec{u}''_{1}$, $ \cdots$, $ \vec{u}''_{n}\}$ への 変換行列を $ Q$ とする. このとき 基底 $ \{\vec{u}'_{1}$, $ \cdots$, $ \vec{u}'_{n}\}$ から 基底 $ \{\vec{u}''_{1}$, $ \cdots$, $ \vec{u}''_{n}\}$ への 変換行列 $ R$

$\displaystyle R=P^{-1}Q$    

である.


(証明)     まず,定義より

  $\displaystyle \left(\vec{u}'_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_n \right)= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n \right)P,$    
  $\displaystyle \left(\vec{u}''_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}''_n \right)= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n \right)Q,$    
  $\displaystyle \left(\vec{u}''_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}''_n \right)= \left(\vec{u}'_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_n \right)R$    

が成り立つ.これより

$\displaystyle \left(\vec{u}''_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}''_n \right)= \left(\ve...
...,\,\, \vec{u}_n \right)PR = \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n \right)Q$    

となるので $ PR=Q$ を得る. よって $ R=P^{-1}Q$ となる.

3.145 (基底の変換行列の具体例)   $ \mathbb{R}^{2}$ において基底

$\displaystyle \{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2}\}= \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$    

に対する基底

$\displaystyle \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}= \left\{ \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}3 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$    

への変換行列 $ R$ を求める. すなわち,

$\displaystyle \left(\vec{v}_{1},\,\, \vec{v}_{2}\right)= \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2}\right)R$    

をみたす行列 $ R$ を求める.

方法 1: まず,標準基底 $ \{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2}\}$ に対する 基底 $ \{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2}\}$ $ \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}$ の変換行列を $ P$, $ Q$ とおく. すなわち,

  $\displaystyle \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2}\right)= \left(\vec{e}_{1},\,\,...
...{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle \left(\vec{v}_{1},\,\, \vec{v}_{2}\right)= \left(\vec{e}_{1},\,\,...
..._{1} & \vec{v}_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$    

が成立する. このとき

$\displaystyle \left(\vec{v}_{1},\,\, \vec{v}_{2}\right)= \left(\vec{u}_{1},\,\,...
...c{e}_{1},\,\, \vec{e}_{2}\right)PR = \left(\vec{e}_{1},\,\, \vec{e}_{2}\right)Q$    

となるので $ PR=Q$ より

$\displaystyle R=P^{-1}Q=U^{-1}V= \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}^{...
...\ 1 & -1 \end{bmatrix}= \frac{1}{2} \begin{bmatrix}3 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$    

を得る.

方法 2: または,$ R$

$\displaystyle \begin{bmatrix}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix}R, \qquad V=UR$    

をみたすので $ R=U^{-1}V$ より得られる.


平成20年2月2日