3.35 基底の変換
ベクトル空間の基底の取り方は一意ではないので, あるベクトル空間
に対して
が成り立つ. ここで,
,
,
と
,
,
,
とは 異なる基底の組である. 片方の組を基底とみなせば片方は 1 次従属なベクトルであるから,
と書ける. ここではある定数である. この関係式は
とも表される.
定義 3.140 (基底の変換行列) ベクトル空間の基底
,
,
,
と基底
,
,
,
に対して
をみたす行列を基底の変換行列という.
注意 3.141 (基底の変換行列) 数ベクトル空間(または
)における 基底の変換は
とも表される.
注意 3.142 (基底の変換行列の正則性),
,
と
,
,
は 1 次独立であるから, 基底の変換行列
は正則である.
例 3.143 (基底の変換行列の具体例)において 標準基底
から 基底
への変換行列を求める.
は
をみたす.方法 1: まず,
とおくと
となる. よって
を得る.方法 2: または,
は
をみたすのでを得る.
定理 3.144 (基底の変換行列) ベクトル空間において, 基底
,
,
から 基底
,
,
への 変換行列を
とし, 基底
,
,
から 基底
,
,
への 変換行列を
とする. このとき 基底
,
,
から 基底
,
,
への 変換行列
は
である.
(証明) まず,定義より
が成り立つ.これより
となるのでを得る. よって
となる.
例 3.145 (基底の変換行列の具体例)において基底
に対する基底
への変換行列を求める. すなわち,
をみたす行列を求める.
方法 1: まず,標準基底
に対する 基底
と
の変換行列を
,
とおく. すなわち,
が成立する. このとき
となるのでより
を得る.方法 2: または,
は
をみたすのでより得られる.
平成20年2月2日