3.35 基底の変換

ベクトル空間の基底の取り方は一意ではないので， あるベクトル空間 $V$ に対して

$$V= \left\langle \vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \ve... ...ngle \vec{u}'_{1},\,\, \vec{u}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_{n} \right\rangle$$

が成り立つ． ここで $\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ と $\{\vec{u}'_{1}$, $\vec{u}'_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}'_{n}\}$ とは 異なる基底の組である． 片方の組を基底とみなせば片方は 1 次従属なベクトルであるから，

$$\vec{u}'_{1} = p_{11}\vec{u}_{1}+p_{11}\vec{u}_{2}+\cdots+p_{n1}\vec{u}_{n},$$

$$\vec{u}'_{2} = p_{12}\vec{u}_{1}+p_{12}\vec{u}_{2}+\cdots+p_{n2}\vec{u}_{n},$$

$$\vdots$$

$$\vec{u}'_{n} = p_{1n}\vec{u}_{1}+p_{1n}\vec{u}_{2}+\cdots+p_{nn}\vec{u}_{n}$$

と書ける． ここで $p_{ij}$ はある定数である． この関係式は

$$\left(\vec{u}'_{1},\,\, \vec{u}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_{n... ...\vec{u}_{n} \right)P, \qquad P= \begin{bmatrix}p_{ij} \end{bmatrix}_{n\times n}$$

とも表される．

定義 3.140 (基底の変換行列)   ベクトル空間 $V$ の基底 $\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ と基底 $\{\vec{u}'_{1}$, $\vec{u}'_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}'_{n}\}$ に対して

$$\left(\vec{u}'_{1},\,\, \vec{u}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_{n... ...ight)= \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n} \right)P$$

をみたす行列 $P$ を基底の変換行列という．

注意 3.141 (基底の変換行列)   数ベクトル空間（ $\mathbb{R}^n$ または $\mathbb{C}^n$）における 基底の変換は

$$\begin{bmatrix}\vec{u}'_{1} & \vec{u}'_{2} & \cdots & \vec{u}'_{n... ...x}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} & \cdots & \vec{u}_{n} \end{bmatrix}P, \qquad U'=UP$$

とも表される．

注意 3.142 (基底の変換行列の正則性)   $\{\vec{u}_{1}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ と $\{\vec{u}'_{1}$, $\cdots$, $\vec{u}'_{n}\}$ は 1 次独立であるから， 基底の変換行列 $P$ は正則である．

例 3.143 (基底の変換行列の具体例)   $\mathbb{R}^2$ において 標準基底 $\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$ から 基底

$$\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}= \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$$

への変換行列 $P$ を求める． $P$ は

$$\left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2}\right)= \left(\vec{e}_{1},\,\, \vec{e}_{2}\right)P$$

をみたす．

方法 1: まず，

$$\vec{u}_1= \begin{bmatrix}u_{11} \\ u_{21} \end{bmatrix}= u_{11}\... ... \begin{bmatrix}u_{12} \\ u_{22} \end{bmatrix}= u_{12}\vec{e}_1+u_{22}\vec{e}_2$$

とおくと

$$\left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2}\right)= \left(u_{11}\vec{e}_1+... ...ec{e}_1,\,\, \vec{e}_2\right)\begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix}$$

となる． よって

$$P=U= \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

を得る．

方法 2: または，$P$ は

$$\begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\vec{e}_{1} & \vec{e}_{2} \end{bmatrix} P, \qquad U=EP$$

をみたすので $P=U$ を得る．

定理 3.144 (基底の変換行列)   ベクトル空間 $V$ において， 基底 $\{\vec{u}_{1}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ から 基底 $\{\vec{u}'_{1}$, $\cdots$, $\vec{u}'_{n}\}$ への 変換行列を $P$ とし， 基底 $\{\vec{u}_{1}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ から 基底 $\{\vec{u}''_{1}$, $\cdots$, $\vec{u}''_{n}\}$ への 変換行列を $Q$ とする． このとき 基底 $\{\vec{u}'_{1}$, $\cdots$, $\vec{u}'_{n}\}$ から 基底 $\{\vec{u}''_{1}$, $\cdots$, $\vec{u}''_{n}\}$ への 変換行列 $R$ は

$$R=P^{-1}Q$$

である．

（証明）     まず，定義より

$$\left(\vec{u}'_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_n \right)= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n \right)P,$$

$$\left(\vec{u}''_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}''_n \right)= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n \right)Q,$$

$$\left(\vec{u}''_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}''_n \right)= \left(\vec{u}'_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_n \right)R$$

が成り立つ．これより

$$\left(\vec{u}''_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}''_n \right)= \left(\ve... ...,\,\, \vec{u}_n \right)PR = \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n \right)Q$$

となるので $PR=Q$ を得る． よって $R=P^{-1}Q$ となる．

例 3.145 (基底の変換行列の具体例)   $\mathbb{R}^{2}$ において基底

$$\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2}\}= \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$$

に対する基底

$$\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}= \left\{ \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}3 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$$

への変換行列 $R$ を求める． すなわち，

$$\left(\vec{v}_{1},\,\, \vec{v}_{2}\right)= \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2}\right)R$$

をみたす行列 $R$ を求める．

方法 1: まず，標準基底 $\{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2}\}$ に対する 基底 $\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2}\}$ と $\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}$ の変換行列を $P$, $Q$ とおく． すなわち，

$$\left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2}\right)= \left(\vec{e}_{1},\,\,... ...{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix},$$

$$\left(\vec{v}_{1},\,\, \vec{v}_{2}\right)= \left(\vec{e}_{1},\,\,... ..._{1} & \vec{v}_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

が成立する． このとき

$$\left(\vec{v}_{1},\,\, \vec{v}_{2}\right)= \left(\vec{u}_{1},\,\,... ...c{e}_{1},\,\, \vec{e}_{2}\right)PR = \left(\vec{e}_{1},\,\, \vec{e}_{2}\right)Q$$

となるので $PR=Q$ より

$$R=P^{-1}Q=U^{-1}V= \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}^{... ...\ 1 & -1 \end{bmatrix}= \frac{1}{2} \begin{bmatrix}3 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$$

を得る．

方法 2: または，$R$ は

$$\begin{bmatrix}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix}R, \qquad V=UR$$

をみたすので $R=U^{-1}V$ より得られる．

平成20年2月2日