3.36 座標変換
定理 3.146 (座標変換) ベクトル空間のベクトル
に対して, 基底
,
,
,
に おける座標が
であり, 基底
,
,
,
に おける座標が
であるとする. また, 基底
に対する基底
の変換行列が
であるとする. すなわち
は
をみたすとする. このとき,
が成立する. これを 座標から 座標
への 座標変換(coordinate transformation)という.
(証明) ベクトル空間
の任意のベクトル
を考える. 基底
,
,
,
のとき の座標が
であれば
となる. 基底,
,
,
のとき の座標が
であれば
となる. これらのベクトルは等しいので,
と表される. ここで, 基底,
,
,
に対する 基底
,
,
,
の 変換行列を
とおくとき,
が成り立つので,
を得る. これより,が成り立つ.
例 3.147 (座標変換の具体例)の点
は, 標準基底
における座標で表すと,と 表される. これらの点を 基底
における座標として表す. 基底から基底
への座標変換を考える. 基底
に対する基底
の変換行列を
とおくと,
より
となる. このとき座標変換は
☆
★
と表される. 点,
,
より
とおく. このとき座標変換より
と表される. よって 座標は それぞれ
,
,
となる.
また,座標
における直線
を座標で表す.(☆)を代入すると
を得る.
例 3.148 (座標変換の具体例)において 2 組の基底
とあるベクトルを考える.
の基底
における 座標が
のとき,
は
となる. ベクトルの基底
における 座標
を求める. ここで,
より,座標から 座標
への 座標変換
を得る. 座標
を得るためには
を左から掛けて
を用いる. これに数値を代入すると, ベクトルの基底
における 座標が
と得られる.
例 3.149 (座標変換の具体例)のベクトル
の 基底
における 座標が
のとき, 基底
における 座標
を求める. まず,
は
であり,
と書ける. これらが等しいので,
が成り立つ.は 1 次独立であるから, 方程式
を得る.これを解くと,
,
となる. よって
と表され,基底における
の座標は
となる.
平成20年2月2日