3.36 座標変換

定理 3.146 (座標変換)   ベクトル空間 $V$ のベクトル $\vec{a}$ に対して， 基底 $\Sigma=\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ に おける座標が $(x_1,x_2,\cdots,x_n)_\Sigma$ であり， 基底 $\Sigma'= \{\vec{u}'_{1}$, $\vec{u}'_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}'_{n}\}$ に おける座標が $(x_1',x_2',\cdots,x_n')_{\Sigma'}$ であるとする． また， 基底 $\Sigma$ に対する基底 $\Sigma'$ の変換行列が $P$ であるとする． すなわち $P$ は

$$\left(\vec{u}'_{1},\,\, \vec{u}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_{n... ...ight)= \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n} \right)P$$

をみたすとする． このとき，

$$\vec{x} =P\vec{x}', \qquad \vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \... ...x}, \quad \vec{x}'= \begin{bmatrix}x_1' \\ x_2' \\ \vdots \\ x_n' \end{bmatrix}$$

が成立する． これを 座標 $(x_1,\cdots,x_n)_{\Sigma}$ から 座標 $(x'_1,\cdots,x'_n)_{\Sigma'}$ への 座標変換（coordinate transformation）という．

（証明）     ベクトル空間 $V$ の任意のベクトル $\vec{a}$ を考える． 基底 $\Sigma=\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ のとき の座標が $(x_1,x_2,\cdots,x_n)_\Sigma$ であれば

$$\vec{a}= x_{1}\vec{u}_{1}+ x_{2}\vec{u}_{2}+ \cdots+ x_{n}\vec{u}... ...= \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right)\vec{x}$$

となる． 基底 $\Sigma'= \{\vec{u}'_{1}$, $\vec{u}'_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}'_{n}\}$ のとき の座標が $(x_1',x_2',\cdots,x_n')_{\Sigma'}$ であれば

$$\vec{a}= x'_{1}\vec{u}'_{1}+ x'_{2}\vec{u}'_{2}+ \cdots+ x'_{n}\v... ...eft(\vec{u}'_{1},\,\, \vec{u}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_{n}\right)\vec{x}'$$

となる． これらのベクトルは等しいので，

$$\left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right)\vec{x} = \left(\vec{u}'_{1},\,\, \vec{u}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_{n}\right)\vec{x}'$$

と表される． ここで， 基底 $\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ に対する 基底 $\{\vec{u}'_{1}$, $\vec{u}'_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}'_{n}\}$ の 変換行列を $P$ とおくとき，

$$\left(\vec{u}'_{1},\,\, \vec{u}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_{n... ...ight)= \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n} \right)P$$

が成り立つので，

$$\left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right)\vec{x} = \left(\vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right)P\vec{x}'$$

を得る． これより， $\vec{x}=P\vec{x}'$ が成り立つ．

例 3.147 (座標変換の具体例)   $\mathbb{R}^2$ の点 $(1,0),(0,1),(1,1)$ は， 標準基底

$$\Sigma= \left\{ \vec{e}_{1},\vec{e}_{2} \right\}$$

における座標で表すと， $(1,0)_{\Sigma},(0,1)_{\Sigma},(1,1)_{\Sigma}$ と 表される． これらの点を 基底

$$\Sigma'= \{ \vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2} \}= \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$$

における座標として表す． 基底 $\Sigma$ から基底 $\Sigma'$ への座標変換を考える． 基底 $\Sigma$ に対する基底 $\Sigma'$ の変換行列を $P$ とおくと， $U=EP$ より

$$P=U= \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

となる． このとき座標変換は

$$( )\quad \vec{x}=P\vec{x}' \Leftrightarrow\quad \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=... ...rix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_{1} \\ x'_{2} \end{bmatrix} \Leftrightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} x_1=x'_1+x'_2 \\ [1ex] x_2=x'_1-x'_2 \end{array}\right.$$

$$( )\quad \vec{x}'=P^{-1}\vec{x} \Leftrightarrow\quad \begin{bmatrix}x'_{1} \\ x'_{2} \end{bmatrix... ...{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} \Leftrightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle{x'_1=... ...(x_1+x_2)} \\ [1ex] \displaystyle{x'_2=\frac{1}{2}(x_1-x_2)} \end{array}\right.$$

と表される． 点 $(1,0)_{\Sigma}$, $(0,1)_{\Sigma}$, $(1,1)_{\Sigma}$ より

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}= 1\vec{e}_1+0\vec{e}... ...e}_2, \quad \vec{c}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}= 1\vec{e}_1+1\vec{e}_2$$

とおく． このとき座標変換より

$$\vec{a}'=P^{-1}\vec{a}= \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} ... ...1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\vec{u}_1+\frac{1}{2}\vec{u}_2,$$

$$\vec{b}'=P^{-1}\vec{b}= \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} ... ...}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\vec{u}_1-\frac{1}{2}\vec{u}_2,$$

$$\vec{c}'=P^{-1}\vec{c}= \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} ... ...{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} = \vec{u}_1$$

と表される． よって 座標 $(1,0)_{\Sigma},(0,1)_{\Sigma},(1,1)_{\Sigma}$ は それぞれ $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)_{\Sigma'}$, $\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)_{\Sigma'}$, $(1,0)_{\Sigma'}$ となる．

また，座標 $(x_1,x_2)$ における直線

$$2x_1+3x_2=0$$

を座標 $(x'_1,x'_2)$ で表す．(☆)を代入すると

$$5x'_1-x'_2=0$$

を得る．

例 3.148 (座標変換の具体例)   $\mathbb{R}^2$ において 2 組の基底

$$\Sigma= \{ \vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2} \}= \left\{ \begin{bmatri... ...matrix}2 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}3 \\ -1 \end{bmatrix} \right\},$$

とあるベクトル $\vec{a}$ を考える． $\vec{a}$ の基底 $\Sigma$ における 座標が $(x_1,x_2)=(2,-3)_{\Sigma}$ のとき， $\vec{a}$ は

$$\vec{a}= x_1\vec{u}_1+x_2\vec{u}_2= 2\vec{u}_1-3\vec{u}_2= \begin... ...ix} \begin{bmatrix}2 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 \\ 5 \end{bmatrix}$$

となる． ベクトル $\vec{a}$ の基底 $\Sigma'$ における 座標 $(x'_1,x'_2)$ を求める． ここで，

$$\vec{a}= x_1\vec{u}_1+x_2\vec{u}_2= x'_1\vec{v}_1+x'_2\vec{v}_2 \... ...x}\vec{v}_1 & \vec{v}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix}$$

$$\quad\Leftrightarrow\quad U\vec{x}=V\vec{x}' \quad\Leftrightarrow\quad \vec{x}=U^{-1}V\vec{x}'$$

より，座標 $(x_1,x_2)_{\Sigma}$ から 座標 $(x'_1,x'_2)_{\Sigma'}$ への 座標変換 $\vec{x}=U^{-1}V\vec{x}'$ を得る． 座標 $(x'_1,x'_2)_{\Sigma'}$ を得るためには $V^{-1}U$ を左から掛けて

$$\vec{x}'=V^{-1}U\vec{x} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{bmatrix}... ...{bmatrix}4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$

を用いる． これに数値を代入すると， ベクトル $\vec{a}$ の基底 $\Sigma'$ における 座標が $${ (x_1',x_2')_{\Sigma'}= \left(\frac{14}{5},-\frac{11}{5}\right)_{\Sigma'}}$$ と得られる．

例 3.149 (座標変換の具体例)   $\mathbb{R}[x]_2$ のベクトル $f$ の 基底 $\Sigma=\{1,\,\,x,\,\,x^2\}$ における 座標が $(1,-2,3)_{\Sigma}$ のとき， 基底 $\Sigma'=\{1,\,\,1+x,\,\,1+x+x^2\}$ における 座標 $(a'_0,a'_1,a'_2)_{\Sigma'}$ を求める． まず，$f$ は $f=1-2x+3x^2$ であり， $f=a_0'+a_1'(1+x)+a_2'(1+x+x^2)$ と書ける． これらが等しいので，

$$1-2x+3x^2 =a_0'+a_1'(1+x)+a_2'(1+x+x^2) =(a_0'+a_1'+a_2')+(a_1'+a_2')x+a_2'x^2$$

$$\left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}a_0'+a_1'+a_2' \\ ... ... 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_0' \\ a_1' \\ a_2' \end{bmatrix}$$

が成り立つ． $\{1,\,\,x,\,\,x^2\}$ は 1 次独立であるから， 方程式

$$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ... ...}a_0' \\ a_1' \\ a_2' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}$$

を得る．これを解くと $a_0'=3$, $a_1'=-5$, $a_2'=3$ となる． よって

$$f=3-5(1+x)+3(1+x+x^2)$$

と表され，基底 $\Sigma'$ における $f$ の座標は $(3,-5,3)_{\Sigma'}$ となる．

平成20年2月2日