3.37 演習問題 〜 座標

3.150 (座標)   基底 $ \Sigma$ における ベクトル $ \vec{a}$ の座標を求めよ.

(1) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^2\ni
\vec{a}=
\begin{bmatrix}
-1 \\ 1
\end{bmatrix},...
...{bmatrix}
0 \\ 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
-1 \\ 0
\end{bmatrix}\right\}
}$         (2) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^2\ni
\vec{a}=
\begin{bmatrix}
1 \\ 2
\end{bmatrix},
...
...{bmatrix}
2 \\ 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 \\ -2
\end{bmatrix}\right\}
}$

(3) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^3\ni
\vec{a}=
\begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ 3
\end{bmatr...
...
0 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}
}$         (4) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^3\ni
\vec{a}=
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ -1
\end{bmat...
...
1 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}
}$

3.151 (基底の変換行列)   基底 $ \Sigma$ から基底 $ \Sigma'$ への 基底の変換行列を求めよ.

(1) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^2\ni
\Sigma=
\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}
}$, $ \displaystyle{\Sigma'=
\left\{
\begin{bmatrix}
2 \\ 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
3 \\ 2
\end{bmatrix}\right\}
}$      (2) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^2\ni
\Sigma=
\left\{
\begin{bmatrix}
2 \\ 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
3 \\ 2
\end{bmatrix}\right\}
}$, $ \displaystyle{\Sigma'=
\left\{
\begin{bmatrix}
2 \\ 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 \\ -2
\end{bmatrix}\right\}
}$

(3) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^3\ni
\Sigma=
\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 0
\en...
...
0 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}
}$, $ \displaystyle{\Sigma'=
\left\{
\begin{bmatrix}
2 \\ 0 \\ 3
\end{bmatrix},
\beg...
...
0 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}
}$

(4) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^3\ni
\Sigma=
\left\{
\begin{bmatrix}
2 \\ 0 \\ 3
\en...
...
0 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}
}$, $ \displaystyle{\Sigma'=
\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix},
\beg...
...
1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}\right\}
}$

(5) $ \mathbb{R}[x]_2\ni \Sigma=\{1,\,\,x,\,\,x^2\}$, $ \Sigma'=\{1+x,\,\,x+x^2,\,\,x^2\}$

(6) $ \mathbb{R}[x]_2\ni \Sigma=\{1+x,\,\,x+x^2,\,\,x^2\}$, $ \Sigma'=\{1,\,\,1+2x,\,\,1+4x+4x^2\}$

3.152 (座標変換)   次の座標で与えられるベクトルを求めよ. また,このベクトルの基底 $ \Sigma'$ に関する座標を求めよ. ただし,基底 $ \Sigma$, $ \Sigma'$ は前問の基底を用いる.

(1)-(2)     $ (2,-3)_{\Sigma}$          (3)-(4)     $ (1,-1,2)_{\Sigma}$          (5)-(6)     $ (2,1,-2)_{\Sigma}$

3.153 (座標変換)   前問の基底 $ \Sigma$, $ \Sigma'$ における 座標をそれぞれ $ (x_1,\cdots,x_n)_{\Sigma}$, $ (x'_1,\cdots,x'_n)_{\Sigma'}$ とする. 座標 $ (x_1,\cdots,x_n)_{\Sigma}$ における 直線または平面が次のように与えられるとき, これらを座標 $ (x'_1,\cdots,x'_n)_{\Sigma'}$ で表せ.

(1)-(2)     $ 3x_1-2x_2=0$          (3)-(4)     $ 2x_1-x_2+3x_3=0$




平成20年2月2日