3.37 演習問題 〜 座標

問 3.150 (座標)   基底 $\Sigma$ における ベクトル $\vec{a}$ の座標を求めよ．

(1) $${ \mathbb{R}^2\ni \vec{a}= \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix},... ...{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\} }$$         (2) $${ \mathbb{R}^2\ni \vec{a}= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, ... ...{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}\right\} }$$

(3) $${ \mathbb{R}^3\ni \vec{a}= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatr... ... 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\} }$$         (4) $${ \mathbb{R}^3\ni \vec{a}= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmat... ... 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\} }$$

問 3.151 (基底の変換行列)   基底 $\Sigma$ から基底 $\Sigma'$ への 基底の変換行列を求めよ．

(1) $${ \mathbb{R}^2\ni \Sigma= \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\} }$$, $${\Sigma'= \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}\right\} }$$      (2) $${ \mathbb{R}^2\ni \Sigma= \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}\right\} }$$, $${\Sigma'= \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}\right\} }$$

(3) $${ \mathbb{R}^3\ni \Sigma= \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \en... ... 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\} }$$, $${\Sigma'= \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}, \beg... ... 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\} }$$

(4) $${ \mathbb{R}^3\ni \Sigma= \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \en... ... 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\} }$$, $${\Sigma'= \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \beg... ... 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\} }$$

(5) $\mathbb{R}[x]_2\ni \Sigma=\{1,\,\,x,\,\,x^2\}$, $\Sigma'=\{1+x,\,\,x+x^2,\,\,x^2\}$

(6) $\mathbb{R}[x]_2\ni \Sigma=\{1+x,\,\,x+x^2,\,\,x^2\}$, $\Sigma'=\{1,\,\,1+2x,\,\,1+4x+4x^2\}$

問 3.152 (座標変換)   次の座標で与えられるベクトルを求めよ． また，このベクトルの基底 $\Sigma'$ に関する座標を求めよ． ただし，基底 $\Sigma$, $\Sigma'$ は前問の基底を用いる．

(1)-(2)     $(2,-3)_{\Sigma}$          (3)-(4)     $(1,-1,2)_{\Sigma}$          (5)-(6)     $(2,1,-2)_{\Sigma}$

問 3.153 (座標変換)   前問の基底 $\Sigma$, $\Sigma'$ における 座標をそれぞれ $(x_1,\cdots,x_n)_{\Sigma}$, $(x'_1,\cdots,x'_n)_{\Sigma'}$ とする． 座標 $(x_1,\cdots,x_n)_{\Sigma}$ における 直線または平面が次のように与えられるとき， これらを座標 $(x'_1,\cdots,x'_n)_{\Sigma'}$ で表せ．

(1)-(2)     $3x_1-2x_2=0$          (3)-(4)     $2x_1-x_2+3x_3=0$

平成20年2月2日