3.38 正規直交基底

定義 3.154 (正規直交基底)   内積空間の基底 $\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$ に 対して次の名称を定義する：

• 正規基底（normal basis）：

  $$\Vert\vec{u}_i\Vert=1, \qquad i=1,2,\cdots,n$$

  
  

• 直交基底（orthogonal basis）：

  $$\left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_i}\right)\neq0, \qquad \left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=0, \qquad i,j=1,2,\cdots,n$$

  
  

• 正規直交基底（orthonormal basis）：

  $$\left({\vec{u}_{i}}\,,\,{\vec{u}_{j}}\right)= \delta_{ij}, \qquad i,j=1,2,\cdots,n$$

  
  

例 3.155 (基本ベクトルの正規直交性)   $\mathbb{R}^n$ の 標準基底 $\{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\cdots,\vec{e}_{n}\}$ は 正規直交基底である．

（証明）    

$$\left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_i}\right)= 0\cdot0+\cdots+1\cdot1+\cdots+0\cdot0=1,$$

$$\left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)= 0\cdot0+\cdots+1\cdot0+\cdots+0\cdot1+\cdots+0\cdot0=0.$$

例 3.156 (正規直交基底の具体例)   $\mathbb{R}^2$ の基底

$$\{\vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2\}= \left\{ \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqr... ...\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \right\}$$

は

$$\Vert\vec{u}_1\Vert=1\,,\quad \Vert\vec{u}_2\Vert=1\,,\quad \left({\vec{u}_1}\,,\,{\vec{u}_2}\right)=0$$

をみたすので正規直交基底である．

例 3.157 (正規直交基底の具体例)   $\mathbb{R}^{2}$ の基底

$$\vec{u}_1= \begin{bmatrix}\cos\theta \\ \sin\theta \end{bmatrix}, \qquad \vec{u}_2= \begin{bmatrix}-\sin\theta \\ \cos\theta \end{bmatrix}$$

は

$$\Vert\vec{u}_1\Vert=1\,,\quad \Vert\vec{u}_2\Vert=1\,,\quad \left({\vec{u}_1}\,,\,{\vec{u}_2}\right)=0$$

をみたすので正規直交基底である．

問 3.158 (正規直交基底)   $\mathbb{R}^{2}$ の正規直交基底はすべて

$$\left\{ \begin{bmatrix}\cos\theta \\ \sin\theta \end{bmatrix}, \b... ... \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}\sin\theta \\ -\cos\theta \end{bmatrix} \right\}$$

の形で表される．

平成20年2月2日