3.38 正規直交基底

定義 3.154 (正規直交基底)   内積空間の基底 $ \{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$ に 対して次の名称を定義する:

3.155 (基本ベクトルの正規直交性)   $ \mathbb{R}^n$ の 標準基底 $ \{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\cdots,\vec{e}_{n}\}$ は 正規直交基底である.


(証明)    

  $\displaystyle \left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_i}\right)= 0\cdot0+\cdots+1\cdot1+\cdots+0\cdot0=1,$    
  $\displaystyle \left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)= 0\cdot0+\cdots+1\cdot0+\cdots+0\cdot1+\cdots+0\cdot0=0.$    

3.156 (正規直交基底の具体例)   $ \mathbb{R}^2$ の基底

$\displaystyle \{\vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2\}= \left\{ \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqr...
...\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \right\}$    

$\displaystyle \Vert\vec{u}_1\Vert=1\,,\quad \Vert\vec{u}_2\Vert=1\,,\quad \left({\vec{u}_1}\,,\,{\vec{u}_2}\right)=0$    

をみたすので正規直交基底である.

3.157 (正規直交基底の具体例)   $ \mathbb{R}^{2}$ の基底

$\displaystyle \vec{u}_1= \begin{bmatrix}\cos\theta \\ \sin\theta \end{bmatrix}, \qquad \vec{u}_2= \begin{bmatrix}-\sin\theta \\ \cos\theta \end{bmatrix}$    

$\displaystyle \Vert\vec{u}_1\Vert=1\,,\quad \Vert\vec{u}_2\Vert=1\,,\quad \left({\vec{u}_1}\,,\,{\vec{u}_2}\right)=0$    

をみたすので正規直交基底である.

3.158 (正規直交基底)   $ \mathbb{R}^{2}$ の正規直交基底はすべて

$\displaystyle \left\{ \begin{bmatrix}\cos\theta \\ \sin\theta \end{bmatrix}, \b...
... \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}\sin\theta \\ -\cos\theta \end{bmatrix} \right\}$    

の形で表される.


平成20年2月2日