3.39 正規直交基底における座標

定理 3.159 (正規直交基底における 1 次結合)   内積空間 $ V$ において, 基底 $ \{\vec{u}_{1}$, $ \vec{u}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}_{n}\}$ が 正規直交基底であれば, 任意のベクトル $ \vec{v}$

$\displaystyle \vec{v}= \left({\vec{v}}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\vec{u}_1+ \left({...
...{u}_2}\right)\vec{u}_2+ \cdots+ \left({\vec{v}}\,,\,{\vec{u}_n}\right)\vec{u}_n$    

と表される.


(証明)     ベクトル $ \vec{u}_i$

$\displaystyle \vec{v}= c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_n\vec{u}_n$    

の両辺との内積をとると

$\displaystyle \left({\vec{v}}\,,\,{\vec{u}_i}\right)$ $\displaystyle = \left({c_1\vec{u}_1+\cdots+c_i\vec{u}_i+\cdots+c_n\vec{u}_n}\,,...
..._i}\,,\,{\vec{u}_i}\right)+ \cdots+ \left({c_n\vec{u}_n}\,,\,{\vec{u}_i}\right)$    
  $\displaystyle = c_1\left({\vec{u}_1}\,,\,{\vec{u}_i}\right)+ \cdots+ c_i\left({...
...\,,\,{\vec{u}_i}\right) = c_1\times 0+ \cdots+ c_i\times 1+ \cdots+ c_n\times 0$    
  $\displaystyle =c_i$    

を得る.

3.160 (正規直交基底における 1 次結合)   $ \mathbb{R}^2$ の点 $ (1,3)$ は, 標準基底 $ \Sigma=\{\vec{e}_1$, $ \vec{e}_2$ における座標であり,正確に書くと $ (1,3)_{\Sigma}$ である. この点の位置ベクトルは

$\displaystyle \vec{x}=1\vec{e}_1+3\vec{e}_2= \begin{bmatrix}1 \\ 3 \end{bmatrix}$    

となる. 正規直交基底

$\displaystyle \Sigma'= \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}= \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}} \beg...
...\end{bmatrix}, \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$    

における座標を求める. なすわち, $ \vec{x}=y_1\vec{u}_1+y_2\vec{u}_2$ の係数 $ y_1,y_2$ を求める. $ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ は 正規直交基底であるから,

$\displaystyle y_{1}=\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{u}_1}\right)=\frac{4}{\sqrt{2}}=2...
...quad y_{2}=\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{u}_2}\right)=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$    

より

$\displaystyle \vec{x}$ $\displaystyle = \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\vec{u}_1+ \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{u}_2}\right)\vec{u}_2 = 2\sqrt{2}\vec{u}_1-\sqrt{2}\vec{u}_2$    

を得る. 基底 $ \Sigma'$ における座標は $ \displaystyle{
\left(2\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)_{\Sigma'}}$ である.

3.161 (正規直交基底における 1 次結合)   $ \mathbb{R}^3$ の点 $ (2,-1,3)$ は, 標準基底 $ \Sigma=\{\vec{e}_1$, $ \vec{e}_2$, $ \vec{e}_3\}$ における座標であり,正確に書くと $ (2,-1,3)_{\Sigma}$ である. この点の位置ベクトルは

$\displaystyle \vec{x}=2\vec{e}_1-\vec{e}_2+3\vec{e}_3= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$    

となる. 正規直交基底

$\displaystyle \Sigma'= \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}= \left\{ \begin{bmatri...
...}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{-2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix} \right\}$    

における座標を求める. なすわち, $ \vec{x}=c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2+c_3\vec{u}_3$ の係数 $ c_1,c_2,c_3$ を求める. $ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ は 正規直交基底であるから,

$\displaystyle c_{1}=\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{u}_1}\right)=\frac{4}{\sqrt{3}},\...
...qrt{2}},\qquad c_{3}=\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{u}_3}\right)=\frac{-5}{\sqrt{6}}$    

より

$\displaystyle \vec{x}$ $\displaystyle = \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\vec{u}_1+ \left({\vec{x}...
...4}{\sqrt{3}}\vec{u}_1+ \frac{3}{\sqrt{2}}\vec{u}_2- \frac{5}{\sqrt{6}}\vec{u}_3$    

を得る. 基底 $ \Sigma'$ における座標は $ \displaystyle{
\left(\frac{4}{\sqrt{3}},\frac{3}{\sqrt{2}},-\frac{5}{\sqrt{6}}
\right)_{\Sigma'}}$ である.

定理 3.162 (正規直交基底における内積)   内積空間 $ V$ において, $ \Sigma=\{\vec{u}_1$, $ \cdots$, $ \vec{u}_n\}$ を 正規直交基底とする. ベクトル $ \vec{u}$, $ \vec{v}\in V$ の 座標をそれぞれ $ (a_1,\cdots,a_n)_{\Sigma}$, $ (b_1,\cdots,b_n)_{\Sigma}$ とする. このとき

$\displaystyle \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=a_1b_1+\cdots+a_nb_n$    

が成り立つ.


(証明)     $ \vec{u}$, $ \vec{v}\in V$

$\displaystyle \vec{u}=a_1\vec{u}_1+\cdots+a_n\vec{u}_n, \qquad \vec{v}=b_1\vec{u}_1+\cdots+b_n\vec{u}_n$    

と表される.このとき $ \left({\vec{u}_k}\,,\,{\vec{u}_l}\right)=\delta_{kl}$ より

$\displaystyle \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({\sum_{k=1}^{n}a_k\ve...
...}\right) = \sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}a_kb_l\delta_{kl} = \sum_{k=1}^{n}a_kb_k$    

を得る.


平成20年2月2日