3.39 正規直交基底における座標
定理 3.159 (正規直交基底における 1 次結合) 内積空間において, 基底
,
,
,
が 正規直交基底であれば, 任意のベクトル
は
と表される.
(証明) ベクトル
と
の両辺との内積をとると
を得る.
例 3.160 (正規直交基底における 1 次結合)の点
は, 標準基底
,
における座標であり,正確に書くと
である. この点の位置ベクトルは
となる. 正規直交基底
における座標を求める. なすわち,の係数
を求める.
は 正規直交基底であるから,
より
を得る. 基底における座標は
である.
例 3.161 (正規直交基底における 1 次結合)の点
は, 標準基底
,
,
における座標であり,正確に書くと
である. この点の位置ベクトルは
となる. 正規直交基底
における座標を求める. なすわち,の係数
を求める.
は 正規直交基底であるから,
より
を得る. 基底における座標は
である.
定理 3.162 (正規直交基底における内積) 内積空間において,
,
,
を 正規直交基底とする. ベクトル
,
の 座標をそれぞれ
,
とする. このとき
が成り立つ.
(証明)
,
は
と表される.このときより
を得る.
平成20年2月2日