3.39 正規直交基底における座標

定理 3.159 (正規直交基底における 1 次結合)   内積空間 $V$ において， 基底 $\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ が 正規直交基底であれば， 任意のベクトル $\vec{v}$ は

$$\vec{v}= \left({\vec{v}}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\vec{u}_1+ \left({... ...{u}_2}\right)\vec{u}_2+ \cdots+ \left({\vec{v}}\,,\,{\vec{u}_n}\right)\vec{u}_n$$

と表される．

（証明）     ベクトル $\vec{u}_i$ と

$$\vec{v}= c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_n\vec{u}_n$$

の両辺との内積をとると

$$\left({\vec{v}}\,,\,{\vec{u}_i}\right) = \left({c_1\vec{u}_1+\cdots+c_i\vec{u}_i+\cdots+c_n\vec{u}_n}\,,... ..._i}\,,\,{\vec{u}_i}\right)+ \cdots+ \left({c_n\vec{u}_n}\,,\,{\vec{u}_i}\right)$$

$$= c_1\left({\vec{u}_1}\,,\,{\vec{u}_i}\right)+ \cdots+ c_i\left({... ...\,,\,{\vec{u}_i}\right) = c_1\times 0+ \cdots+ c_i\times 1+ \cdots+ c_n\times 0$$

$$=c_i$$

を得る．

例 3.160 (正規直交基底における 1 次結合)   $\mathbb{R}^2$ の点 $(1,3)$ は， 標準基底 $\Sigma=\{\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ における座標であり，正確に書くと $(1,3)_{\Sigma}$ である． この点の位置ベクトルは

$$\vec{x}=1\vec{e}_1+3\vec{e}_2= \begin{bmatrix}1 \\ 3 \end{bmatrix}$$

となる． 正規直交基底

$$\Sigma'= \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}= \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}} \beg... ...\end{bmatrix}, \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$$

における座標を求める． なすわち， $\vec{x}=y_1\vec{u}_1+y_2\vec{u}_2$ の係数 $y_1,y_2$ を求める． $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ は 正規直交基底であるから，

$$y_{1}=\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{u}_1}\right)=\frac{4}{\sqrt{2}}=2... ...quad y_{2}=\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{u}_2}\right)=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$$

より

$$\vec{x} = \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\vec{u}_1+ \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{u}_2}\right)\vec{u}_2 = 2\sqrt{2}\vec{u}_1-\sqrt{2}\vec{u}_2$$

を得る． 基底 $\Sigma'$ における座標は $${ \left(2\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)_{\Sigma'}}$$ である．

例 3.161 (正規直交基底における 1 次結合)   $\mathbb{R}^3$ の点 $(2,-1,3)$ は， 標準基底 $\Sigma=\{\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$, $\vec{e}_3\}$ における座標であり，正確に書くと $(2,-1,3)_{\Sigma}$ である． この点の位置ベクトルは

$$\vec{x}=2\vec{e}_1-\vec{e}_2+3\vec{e}_3= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$$

となる． 正規直交基底

$$\Sigma'= \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}= \left\{ \begin{bmatri... ...}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{-2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix} \right\}$$

における座標を求める． なすわち， $\vec{x}=c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2+c_3\vec{u}_3$ の係数 $c_1,c_2,c_3$ を求める． $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ は 正規直交基底であるから，

$$c_{1}=\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{u}_1}\right)=\frac{4}{\sqrt{3}},\... ...qrt{2}},\qquad c_{3}=\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{u}_3}\right)=\frac{-5}{\sqrt{6}}$$

より

$$\vec{x} = \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\vec{u}_1+ \left({\vec{x}... ...4}{\sqrt{3}}\vec{u}_1+ \frac{3}{\sqrt{2}}\vec{u}_2- \frac{5}{\sqrt{6}}\vec{u}_3$$

を得る． 基底 $\Sigma'$ における座標は $${ \left(\frac{4}{\sqrt{3}},\frac{3}{\sqrt{2}},-\frac{5}{\sqrt{6}} \right)_{\Sigma'}}$$ である．

定理 3.162 (正規直交基底における内積)   内積空間 $V$ において， $\Sigma=\{\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_n\}$ を 正規直交基底とする． ベクトル $\vec{u}$, $\vec{v}\in V$ の 座標をそれぞれ $(a_1,\cdots,a_n)_{\Sigma}$, $(b_1,\cdots,b_n)_{\Sigma}$ とする． このとき

$$\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=a_1b_1+\cdots+a_nb_n$$

が成り立つ．

（証明）     $\vec{u}$, $\vec{v}\in V$ は

$$\vec{u}=a_1\vec{u}_1+\cdots+a_n\vec{u}_n, \qquad \vec{v}=b_1\vec{u}_1+\cdots+b_n\vec{u}_n$$

と表される．このとき $\left({\vec{u}_k}\,,\,{\vec{u}_l}\right)=\delta_{kl}$ より

$$\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({\sum_{k=1}^{n}a_k\ve... ...}\right) = \sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}a_kb_l\delta_{kl} = \sum_{k=1}^{n}a_kb_k$$

を得る．

平成20年2月2日