3.40 グラム・シュミットの直交化法
定義 3.163 (正規直交化) 内積空間において,基底
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を基底
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,
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に取り替える. このとき
が正規基底となるとき, この操作を正規化(normalize)という. 直交基底となるとき,直交化(orthogonalize)という. 正規直交基底となるとき,正規直交化(orthonormalize)という.
定理 3.164 (正規化) 内積空間の 基底
に対して 次の式で定まる
は 正規基底となる:
定理 3.165 (グラム・シュミットの直交化法) 内積空間の基底
に 対して次の式で定まる
は
の正規直交基底となる. この手法を グラム・シュミットの直交化法(Gram-Schmidt orthogonalization) という.
(証明)
以下同様.
例 3.166 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)の基底
を正規直交化する. グラム・シュミットの直交化法より,
となる. 以上より
はをみたし,
の正規直交基底となる.
例 3.167 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)の基底
を正規直交化する. グラム・シュミットの直交化法より,
となる. 以上より
はをみたし,
の正規直交基底となる.
例 3.168 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)の基底
を正規直交化する. グラム・シュミットの直交化法より,
となる. 以上より
は
をみたし,の正規直交基底となる.
問 3.169 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)の基底
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を グラム・シュミットの直交化法で正規直交化せよ. ただし,内積は
とする.
(答え)
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,
,
,
とおく.
のノルムは
であるから,まず,
とおく.次にと
の内積は
であるから,これらは直交しない. ここで
とおくとと
は直交する.
のノルムは
である.を正規化すると
となる.と
とは正規直交系である. 以下
,
,
は自習.
平成20年2月2日