3.40 グラム・シュミットの直交化法

定義 3.163 (正規直交化)   内積空間 $V$ において，基底 $\{\vec{v}_{1}$, $\vec{v}_{2}$, $\cdots$, $\vec{v}_{n}\}$ を基底 $\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ に取り替える． このとき $\{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\}$ が正規基底となるとき， この操作を正規化（normalize）という． 直交基底となるとき，直交化（orthogonalize）という． 正規直交基底となるとき，正規直交化（orthonormalize）という．

定理 3.164 (正規化)   内積空間 $V$ の 基底 $\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n\}$ に対して 次の式で定まる $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n\}$ は 正規基底となる：

$$\vec{u}_1=\frac{\vec{v}_1}{\Vert\vec{v}_1\Vert}, \qquad \vec{u}_2... ...Vert}, \qquad \cdots, \qquad \vec{u}_n=\frac{\vec{v}_n}{\Vert\vec{v}_n\Vert}\,.$$

定理 3.165 (グラム・シュミットの直交化法)   内積空間 $V$ の基底 $\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n\}$ に 対して次の式で定まる $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n\}$ は $V$ の正規直交基底となる． この手法を グラム・シュミットの直交化法（Gram-Schmidt orthogonalization） という．

$$\vec{u}_1 = \frac{\vec{v}'_1}{\Vert\vec{v}'_1\Vert}, \qquad \vec{v}'_1= \vec{v}_1,$$

$$\vec{u}_2 = \frac{\vec{v}'_2}{\Vert\vec{v}'_2\Vert}, \qquad \vec{v}_2'= \vec{v}_2- \left({\vec{v}_2}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\vec{u}_1,$$

$$\vec{u}_3 = \frac{\vec{v}'_3}{\Vert\vec{v}'_3\Vert}, \qquad \vec{v}_3'= \ve... ...{\vec{u}_2}\right)\vec{u}_2- \left({\vec{v}_3}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\vec{u}_1,$$

$$\vec{u}_4 = \frac{\vec{v}'_4}{\Vert\vec{v}'_4\Vert}, \qquad \vec{v}_4'= \ve... ...{\vec{u}_2}\right)\vec{u}_2- \left({\vec{v}_4}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\vec{u}_1,$$

$$\qquad\vdots \qquad\qquad \qquad \vdots$$

$$\vec{u}_n =\frac{\vec{v}'_n}{\Vert\vec{v}'_n\Vert}, \qquad \vec{v}_n'= \vec{v}_n- \sum_{k=1}^{n-1}\left({\vec{v}_n}\,,\,{\vec{u}_k}\right)\vec{u}_k.$$

（証明）    

$$\left({\vec{u}_1}\,,\,{\vec{u}_1}\right) = \left({\frac{\vec{v}_1}{\Vert\vec{v}_1\Vert}}\,,\,{\frac{\vec{v... ...\vec{v}_1}\,,\,{\vec{v}_1}\right)}{\left({\vec{v}_1}\,,\,{\vec{v}_1}\right)}=1,$$

$$\left({\vec{u}_1}\,,\,{\vec{u}_2}\right) = \left({\vec{u}_1}\,,\,{\frac{\vec{v}_2-\left({\vec{v}_2}\,,\,{\... ..._2}\right)-\left({\vec{u}_1}\,,\,{\vec{v}_2}\right)} {\Vert\vec{v}'_2\Vert} =0.$$

以下同様．

例 3.166 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)   $\mathbb{R}^2$ の基底

$$\{\vec{v}_1,\,\,\vec{v}_2\}= \left\{ \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{bmatrix} \right\}$$

を正規直交化する． グラム・シュミットの直交化法より，

$$\vec{u}_1= \frac{\vec{v}_1}{\Vert\vec{v}_1\Vert}= \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix},$$

$$\vec{v}_2'= \vec{v}_2-\left({\vec{v}_2}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\ve... ...matrix}-3 \\ 6 \end{bmatrix}= \frac{3}{5} \begin{bmatrix}-1 \\ 2 \end{bmatrix},$$

$$\vec{u}_2=\frac{\vec{v}'_2}{\Vert\vec{v}'_2\Vert}= \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix}-1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

となる． 以上より

$$\{\vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2\}= \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bm... ...d{bmatrix},\,\, \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix}-1 \\ 2 \end{bmatrix}\right\}$$

は $\left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=\delta_{ij}$ をみたし， $\mathbb{R}^2$ の正規直交基底となる．

例 3.167 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)   $\mathbb{R}^2$ の基底

$$\{\vec{v}_1,\,\,\vec{v}_2\}= \left\{ \begin{bmatrix}3 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$$

を正規直交化する． グラム・シュミットの直交化法より，

$$\vec{u}_1= \frac{\vec{v}_1}{\Vert\vec{v}_1\Vert}= \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{bmatrix}3 \\ 1 \end{bmatrix},$$

$$\vec{v}_2'= \vec{v}_2-\left({\vec{v}_2}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\ve... ...atrix}-3 \\ 9 \end{bmatrix}= \frac{3}{10} \begin{bmatrix}-1 \\ 3 \end{bmatrix},$$

$$\vec{u}_2=\frac{\vec{v}'_2}{\Vert\vec{v}'_2\Vert}= \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{bmatrix}-1 \\ 3 \end{bmatrix}$$

となる． 以上より

$$\{\vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2\}= \left\{ \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{b... ...{bmatrix},\,\, \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{bmatrix}-1 \\ 3 \end{bmatrix}\right\}$$

は $\left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=\delta_{ij}$ をみたし， $\mathbb{R}^2$ の正規直交基底となる．

例 3.168 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)   $\mathbb{R}^3$ の基底

$$\{\vec{v}_1,\,\,\vec{v}_2,\,\,\vec{v}_3\}= \left\{ \begin{bmatrix... ...\\ 3 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$$

を正規直交化する． グラム・シュミットの直交化法より，

$$\vec{u}_1= \frac{\vec{v}_1}{\Vert\vec{v}_1\Vert}= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},$$

$$\vec{v}_2'= \vec{v}_2-\left({\vec{v}_2}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\ve... ...n{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},$$

$$\vec{u}_2=\frac{\vec{v}'_2}{\Vert\vec{v}'_2\Vert}= \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},$$

$$\vec{v}_3'= \vec{v}_3-\left({\vec{v}_3}\,,\,{\vec{u}_2}\right)\vec{u}_2- \left({\vec{v}_3}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\vec{u}_1$$

$$= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}- \left({\begin{bmatri... ...nd{bmatrix}}\right) \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}+ \frac{2}{3} \begin{b... ...\\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}= \frac{5}{6} \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix},$$

$$\vec{u}_3=\frac{\vec{v}'_3}{\Vert\vec{v}'_3\Vert}= \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

となる． 以上より

$$\{\vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2,\,\,\vec{u}_3\}= \left\{ \frac{1}{\sqrt... ...rix},\,\, \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \right\}$$

は

$$\left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=\delta_{ij}$$

をみたし， $\mathbb{R}^3$ の正規直交基底となる．

問 3.169 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)   $\mathbb{R}[x]_n$ の基底 $\{1$, $x$, $x^2$, $x^3$, $x^4$, $\cdots$, $x^n\}$ を グラム・シュミットの直交化法で正規直交化せよ． ただし，内積は

$$\left({f}\,,\,{g}\right)= \int_{0}^{1}f(x)g(x)\,dx$$

とする．

（答え）     $f_0=1$, $f_1=x$, $f_2=x^2$, $f_3=x^3$, $\cdots$ とおく． $f_0$ のノルムは

$$\left({f_0}\,,\,{f_0}\right)= \int_0^11\cdot1\,dx=1, \qquad \Vert f_0\Vert=\sqrt{\left({f_0}\,,\,{f_0}\right)}=1$$

であるから，まず，

$$g_0= \frac{f_0}{\Vert f_0\Vert}=1$$

とおく．次に $f_1$ と $g_0$ の内積は

$$\left({f_1}\,,\,{g_0}\right)= \int_0^1x\cdot1\,dx=\frac{1}{2}$$

であるから，これらは直交しない． ここで

$$\tilde{f}_1=f_1-\left({f_1}\,,\,{g_0}\right)g_0=x-\frac{1}{2}$$

とおくと $g_0$ と $\tilde{f}_1$ は直交する． $\tilde{f}_1$ のノルムは

$$\left({\tilde{f}_1}\,,\,{\tilde{f}_1}\right)= \int_0^1 \left(x-\f... ...1\Vert=\sqrt{\left({\tilde{f}_1}\,,\,{\tilde{f}_1}\right)}= \frac{1}{\sqrt{12}}$$

である． $\tilde{f}_1$ を正規化すると

$$g_1= \frac{\tilde{f}_1}{\Vert\tilde{f}_1\Vert}= \frac{1}{\sqrt{12}} \left(x-\frac{1}{2}\right)$$

となる．$g_0$ と $g_1$ とは正規直交系である． 以下 $g_2$, $g_3$, $\cdots$ は自習．

平成20年2月2日