3.40 グラム・シュミットの直交化法

定義 3.163 (正規直交化)   内積空間 $ V$ において,基底 $ \{\vec{v}_{1}$, $ \vec{v}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{v}_{n}\}$ を基底 $ \{\vec{u}_{1}$, $ \vec{u}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}_{n}\}$ に取り替える. このとき $ \{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\}$ が正規基底となるとき, この操作を正規化(normalize)という. 直交基底となるとき,直交化(orthogonalize)という. 正規直交基底となるとき,正規直交化(orthonormalize)という.

定理 3.164 (正規化)   内積空間 $ V$ の 基底 $ \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n\}$ に対して 次の式で定まる $ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n\}$ は 正規基底となる:

$\displaystyle \vec{u}_1=\frac{\vec{v}_1}{\Vert\vec{v}_1\Vert}, \qquad \vec{u}_2...
...Vert}, \qquad \cdots, \qquad \vec{u}_n=\frac{\vec{v}_n}{\Vert\vec{v}_n\Vert}\,.$    

定理 3.165 (グラム・シュミットの直交化法)   内積空間 $ V$ の基底 $ \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n\}$ に 対して次の式で定まる $ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n\}$$ V$ の正規直交基底となる. この手法を グラム・シュミットの直交化法(Gram-Schmidt orthogonalization) という.

$\displaystyle \vec{u}_1$ $\displaystyle = \frac{\vec{v}'_1}{\Vert\vec{v}'_1\Vert}, \qquad \vec{v}'_1= \vec{v}_1,$    
$\displaystyle \vec{u}_2$ $\displaystyle = \frac{\vec{v}'_2}{\Vert\vec{v}'_2\Vert}, \qquad \vec{v}_2'= \vec{v}_2- \left({\vec{v}_2}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\vec{u}_1,$    
$\displaystyle \vec{u}_3$ $\displaystyle = \frac{\vec{v}'_3}{\Vert\vec{v}'_3\Vert}, \qquad \vec{v}_3'= \ve...
...{\vec{u}_2}\right)\vec{u}_2- \left({\vec{v}_3}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\vec{u}_1,$    
$\displaystyle \vec{u}_4$ $\displaystyle = \frac{\vec{v}'_4}{\Vert\vec{v}'_4\Vert}, \qquad \vec{v}_4'= \ve...
...{\vec{u}_2}\right)\vec{u}_2- \left({\vec{v}_4}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\vec{u}_1,$    
  $\displaystyle \qquad\vdots \qquad\qquad \qquad \vdots$    
$\displaystyle \vec{u}_n$ $\displaystyle =\frac{\vec{v}'_n}{\Vert\vec{v}'_n\Vert}, \qquad \vec{v}_n'= \vec{v}_n- \sum_{k=1}^{n-1}\left({\vec{v}_n}\,,\,{\vec{u}_k}\right)\vec{u}_k.$    


(証明)    

$\displaystyle \left({\vec{u}_1}\,,\,{\vec{u}_1}\right)$ $\displaystyle = \left({\frac{\vec{v}_1}{\Vert\vec{v}_1\Vert}}\,,\,{\frac{\vec{v...
...\vec{v}_1}\,,\,{\vec{v}_1}\right)}{\left({\vec{v}_1}\,,\,{\vec{v}_1}\right)}=1,$    
$\displaystyle \left({\vec{u}_1}\,,\,{\vec{u}_2}\right)$ $\displaystyle = \left({\vec{u}_1}\,,\,{\frac{\vec{v}_2-\left({\vec{v}_2}\,,\,{\...
..._2}\right)-\left({\vec{u}_1}\,,\,{\vec{v}_2}\right)} {\Vert\vec{v}'_2\Vert} =0.$    

以下同様.

3.166 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)   $ \mathbb{R}^2$ の基底

$\displaystyle \{\vec{v}_1,\,\,\vec{v}_2\}= \left\{ \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{bmatrix} \right\}$    

を正規直交化する. グラム・シュミットの直交化法より,

  $\displaystyle \vec{u}_1= \frac{\vec{v}_1}{\Vert\vec{v}_1\Vert}= \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle \vec{v}_2'= \vec{v}_2-\left({\vec{v}_2}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\ve...
...matrix}-3 \\ 6 \end{bmatrix}= \frac{3}{5} \begin{bmatrix}-1 \\ 2 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle \vec{u}_2=\frac{\vec{v}'_2}{\Vert\vec{v}'_2\Vert}= \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix}-1 \\ 2 \end{bmatrix}$    

となる. 以上より

$\displaystyle \{\vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2\}= \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bm...
...d{bmatrix},\,\, \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix}-1 \\ 2 \end{bmatrix}\right\}$    

$ \left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=\delta_{ij}$ をみたし, $ \mathbb{R}^2$ の正規直交基底となる.

3.167 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)   $ \mathbb{R}^2$ の基底

$\displaystyle \{\vec{v}_1,\,\,\vec{v}_2\}= \left\{ \begin{bmatrix}3 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$    

を正規直交化する. グラム・シュミットの直交化法より,

  $\displaystyle \vec{u}_1= \frac{\vec{v}_1}{\Vert\vec{v}_1\Vert}= \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{bmatrix}3 \\ 1 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle \vec{v}_2'= \vec{v}_2-\left({\vec{v}_2}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\ve...
...atrix}-3 \\ 9 \end{bmatrix}= \frac{3}{10} \begin{bmatrix}-1 \\ 3 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle \vec{u}_2=\frac{\vec{v}'_2}{\Vert\vec{v}'_2\Vert}= \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{bmatrix}-1 \\ 3 \end{bmatrix}$    

となる. 以上より

$\displaystyle \{\vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2\}= \left\{ \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{b...
...{bmatrix},\,\, \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{bmatrix}-1 \\ 3 \end{bmatrix}\right\}$    

$ \left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=\delta_{ij}$ をみたし, $ \mathbb{R}^2$ の正規直交基底となる.

3.168 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)   $ \mathbb{R}^3$ の基底

$\displaystyle \{\vec{v}_1,\,\,\vec{v}_2,\,\,\vec{v}_3\}= \left\{ \begin{bmatrix...
...\\ 3 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$    

を正規直交化する. グラム・シュミットの直交化法より,

  $\displaystyle \vec{u}_1= \frac{\vec{v}_1}{\Vert\vec{v}_1\Vert}= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle \vec{v}_2'= \vec{v}_2-\left({\vec{v}_2}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\ve...
...n{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle \vec{u}_2=\frac{\vec{v}'_2}{\Vert\vec{v}'_2\Vert}= \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},$    

  $\displaystyle \vec{v}_3'= \vec{v}_3-\left({\vec{v}_3}\,,\,{\vec{u}_2}\right)\vec{u}_2- \left({\vec{v}_3}\,,\,{\vec{u}_1}\right)\vec{u}_1$    
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}- \left({\begin{bmatri...
...nd{bmatrix}}\right) \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$    
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}+ \frac{2}{3} \begin{b...
...\\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}= \frac{5}{6} \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle \vec{u}_3=\frac{\vec{v}'_3}{\Vert\vec{v}'_3\Vert}= \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$    

となる. 以上より

$\displaystyle \{\vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2,\,\,\vec{u}_3\}= \left\{ \frac{1}{\sqrt...
...rix},\,\, \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \right\}$    

$\displaystyle \left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=\delta_{ij}$    

をみたし, $ \mathbb{R}^3$ の正規直交基底となる.

3.169 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)   $ \mathbb{R}[x]_n$ の基底 $ \{1$, $ x$, $ x^2$, $ x^3$, $ x^4$, $ \cdots$, $ x^n\}$ を グラム・シュミットの直交化法で正規直交化せよ. ただし,内積は

$\displaystyle \left({f}\,,\,{g}\right)= \int_{0}^{1}f(x)g(x)\,dx$    

とする.


(答え)     $ f_0=1$, $ f_1=x$, $ f_2=x^2$, $ f_3=x^3$, $ \cdots$ とおく. $ f_0$ のノルムは

  $\displaystyle \left({f_0}\,,\,{f_0}\right)= \int_0^11\cdot1\,dx=1, \qquad \Vert f_0\Vert=\sqrt{\left({f_0}\,,\,{f_0}\right)}=1$    

であるから,まず,

  $\displaystyle g_0= \frac{f_0}{\Vert f_0\Vert}=1$    

とおく.次に $ f_1$$ g_0$ の内積は

$\displaystyle \left({f_1}\,,\,{g_0}\right)= \int_0^1x\cdot1\,dx=\frac{1}{2}$    

であるから,これらは直交しない. ここで

$\displaystyle \tilde{f}_1=f_1-\left({f_1}\,,\,{g_0}\right)g_0=x-\frac{1}{2}$    

とおくと $ g_0$ $ \tilde{f}_1$ は直交する. $ \tilde{f}_1$ のノルムは

$\displaystyle \left({\tilde{f}_1}\,,\,{\tilde{f}_1}\right)= \int_0^1 \left(x-\f...
...1\Vert=\sqrt{\left({\tilde{f}_1}\,,\,{\tilde{f}_1}\right)}= \frac{1}{\sqrt{12}}$    

である. $ \tilde{f}_1$ を正規化すると

$\displaystyle g_1= \frac{\tilde{f}_1}{\Vert\tilde{f}_1\Vert}= \frac{1}{\sqrt{12}} \left(x-\frac{1}{2}\right)$    

となる.$ g_0$$ g_1$ とは正規直交系である. 以下 $ g_2$, $ g_3$, $ \cdots$ は自習.


平成20年2月2日