3.41 演習問題 〜 正規直交基底

3.170 (正規直交基底)   $ \mathbb{R}^{2}$ の正規直交基底は

$\displaystyle \left\{ \begin{bmatrix}\cos\theta \\ \sin\theta \end{bmatrix}, \b...
... \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}\sin\theta \\ -\cos\theta \end{bmatrix} \right\}$    

のみであることを示せ.

3.171 (正規直交基底)   次のベクトルの組が $ \mathbb{R}^{3}$ の正規直交基底であることを示せ.

$\displaystyle \left\{ \begin{bmatrix}\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ \sin\the...
...{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ -\sin\theta \\ \cos\theta \end{bmatrix} \right\}$    

3.172 (グラム・シュミットの直交化法)   次の基底を正規直交化せよ.
    (1)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{2}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 2
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
0 \\ -2
\end{bmatrix}}$     (2)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{2}\ni
\begin{bmatrix}
5 \\ -3
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
-4 \\ 3
\end{bmatrix}}$     (3)   $ \displaystyle{
\mathbb{C}^{2}\ni
\begin{bmatrix}
1+i \\ 3
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
-3i \\ 5+4i
\end{bmatrix}}$
    (4)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix},\,
...
...matrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}}$     (5)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
2 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix},\,
...
...matrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ 1
\end{bmatrix}}$     (6)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix},\,
...
...matrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}}$
    (7)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
-1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix},\,...
...trix}
1 \\ -1 \\ 1
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ -1
\end{bmatrix}}$     (8)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix},\,
...
...matrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}}$     (9)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
2 \\ 1 \\ 3
\end{bmatrix},\,...
...atrix}
1 \\ 2 \\ 3
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}}$
    (10)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix},\,...
...trix}
1 \\ -2 \\ 1
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ 3
\end{bmatrix}}$     (11)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix},\,...
...atrix}
1 \\ 2 \\ 0
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}}$     (12)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix},\,
...
...trix}
5 \\ -2 \\ 2
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
3 \\ -4 \\ 3
\end{bmatrix}}$
    (13)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ 0
\end{bmatrix},\,
...
...matrix}
0 \\ 3 \\ 0
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
2 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}}$     (14)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
3 \\ 5 \\ 0
\end{bmatrix},\,
...
...trix}
-2 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
1 \\ -2 \\ 2
\end{bmatrix}}$     (15)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix},\,
...
...atrix}
4 \\ 2 \\ 0
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
5 \\ 3 \\ -1
\end{bmatrix}}$
    (16)   $ \displaystyle{
\mathbb{C}^{3}\ni
\begin{bmatrix}
i \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix},\,
...
... \\ -2+3i \\ 1-2i
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
4 \\ -2i \\ 0
\end{bmatrix}}$     (17)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{4}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix...
...\\ 0 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}}$
    (18)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{4}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ -1 \\ 0 \\ 0
\end{bmatri...
...\\ 0 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}}$     (19)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{4}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ -1 \\ 0 \\ 0
\end{bmatri...
...\\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}}$
    (20)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{4}\ni
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix...
...\ 0 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}}$     (21)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{4}\ni
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix...
...-2 \\ 1 \\ 2
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
-1 \\ 0 \\ 1 \\ -2
\end{bmatrix}}$
    (22)   $ \displaystyle{
\mathbb{R}^{4}\ni
\begin{bmatrix}
2 \\ -2 \\ 0 \\ 0
\end{bmatri...
...\ 4 \\ 2 \\ 5
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
0 \\ 5 \\ 3 \\ -1
\end{bmatrix}}$     (23)   $ \displaystyle{
\mathbb{C}^{4}\ni
\begin{bmatrix}
2i \\ 0 \\ 0 \\ 1
\end{bmatri...
...i \\ 2+i \\ 3
\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}
i \\ 0 \\ 2 \\ 5i
\end{bmatrix}}$

3.173 (正規直交基底における座標)   前問で得た正規直交基底における次のベクトルの座標を求めよ.

(1)-(2) $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 \\ -1
\end{bmatrix}}$      (3) $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1-2i \\ 2+i
\end{bmatrix}}$      (4)-(15) $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ -1 \\ 2
\end{bmatrix}}$      (16) $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2i \\ 3-i \\ -1
\end{bmatrix}}$      (17)-(22) $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 2 \\ -1 \\ 3
\end{bmatrix}}$      (23) $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-1+i \\ 2i \\ 3 \\ 2-2i
\end{bmatrix}}$

3.174 (グラム・シュミットの直交化法)   $ \mathbb{R}^{3}$ において $ \displaystyle{
\frac{1}{\sqrt{6}}
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ -2
\end{bmatrix}}$ を含む正規直交基底を2 組つくれ.

3.175 (グラム・シュミットの直交化法)   $ \mathbb{R}[x]_2$ の基底 (1) $ \{1,\,\,x,\,\,x^2\}$      (2) $ \{1+x,\,\,x+x^2,\,\,1\}$ を正規直交化せよ. ただし,内積は

$\displaystyle \left({f}\,,\,{g}\right)=\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\,dx$    

とする.

3.176 (グラム・シュミットの直交化法)   $ \mathbb{R}[x]_n$ の基底 $ \{1$, $ x$, $ x^2$, $ x^3$, $ x^4$, $ \cdots$, $ x^n\}$ を 正規直交化せよ. ただし,内積は前問と同じとする.


平成20年2月2日