3.41 演習問題 〜 正規直交基底

問 3.170 (正規直交基底)   $\mathbb{R}^{2}$ の正規直交基底は

$$\left\{ \begin{bmatrix}\cos\theta \\ \sin\theta \end{bmatrix}, \b... ... \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}\sin\theta \\ -\cos\theta \end{bmatrix} \right\}$$

のみであることを示せ．

問 3.171 (正規直交基底)   次のベクトルの組が $\mathbb{R}^{3}$ の正規直交基底であることを示せ．

$$\left\{ \begin{bmatrix}\cos\phi \\ \cos\theta\sin\phi \\ \sin\the... ...{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ -\sin\theta \\ \cos\theta \end{bmatrix} \right\}$$

問 3.172 (グラム・シュミットの直交化法)   次の基底を正規直交化せよ．
    (1)   $${ \mathbb{R}^{2}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \end{bmatrix}}$$     (2)   $${ \mathbb{R}^{2}\ni \begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} -4 \\ 3 \end{bmatrix}}$$     (3)   $${ \mathbb{C}^{2}\ni \begin{bmatrix} 1+i \\ 3 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} -3i \\ 5+4i \end{bmatrix}}$$
    (4)   $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\, ... ...matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}$$     (5)   $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\, ... ...matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}}$$     (6)   $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\, ... ...matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$
    (7)   $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\,... ...trix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}$$     (8)   $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\, ... ...matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}$$     (9)   $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix},\,... ...atrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$
    (10)   $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\,... ...trix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}}$$     (11)   $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\,... ...atrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$     (12)   $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\, ... ...trix} 5 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix}}$$
    (13)   $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix},\, ... ...matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$     (14)   $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 0 \end{bmatrix},\, ... ...trix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix}}$$     (15)   $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\, ... ...atrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}}$$
    (16)   $${ \mathbb{C}^{3}\ni \begin{bmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\, ... ... \\ -2+3i \\ 1-2i \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 4 \\ -2i \\ 0 \end{bmatrix}}$$     (17)   $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix... ...\\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}$$
    (18)   $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatri... ...\\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}$$     (19)   $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatri... ...\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$
    (20)   $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix... ...\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$     (21)   $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix... ...-2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}}$$
    (22)   $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatri... ...\ 4 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}}$$     (23)   $${ \mathbb{C}^{4}\ni \begin{bmatrix} 2i \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatri... ...i \\ 2+i \\ 3 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} i \\ 0 \\ 2 \\ 5i \end{bmatrix}}$$

問 3.173 (正規直交基底における座標)   前問で得た正規直交基底における次のベクトルの座標を求めよ．

(1)-(2) $${ \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}}$$      (3) $${ \begin{bmatrix} 1-2i \\ 2+i \end{bmatrix}}$$      (4)-(15) $${ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$      (16) $${ \begin{bmatrix} 2i \\ 3-i \\ -1 \end{bmatrix}}$$      (17)-(22) $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}}$$      (23) $${ \begin{bmatrix} -1+i \\ 2i \\ 3 \\ 2-2i \end{bmatrix}}$$

問 3.174 (グラム・シュミットの直交化法)   $\mathbb{R}^{3}$ において $${ \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}}$$ を含む正規直交基底を2 組つくれ．

問 3.175 (グラム・シュミットの直交化法)   $\mathbb{R}[x]_2$ の基底 (1) $\{1,\,\,x,\,\,x^2\}$      (2) $\{1+x,\,\,x+x^2,\,\,1\}$ を正規直交化せよ． ただし，内積は

$$\left({f}\,,\,{g}\right)=\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\,dx$$

とする．

問 3.176 (グラム・シュミットの直交化法)   $\mathbb{R}[x]_n$ の基底 $\{1$, $x$, $x^2$, $x^3$, $x^4$, $\cdots$, $x^n\}$ を 正規直交化せよ． ただし，内積は前問と同じとする．

平成20年2月2日