3.42 ベクトル空間の和
定義 3.177 (ベクトル空間の和) ベクトル空間,
に対して
をベクトル空間の和という. 特に,
のとき
と表記し,直和という.
注意 3.178 (直和) ベクトル空間,
,
が
であるとする. このとき,のあるベクトル
に対して,
をみたす,
はただ一つ定まる.
定理 3.179 (ベクトル空間の和の次元) ベクトル空間,
,
が
をみたすとき,
である.
をみたすとき,
である.
定理 3.180 (部分空間の共通部分) ベクトル
が 1 次独立であるとき, これらのベクトルで生成される空間
の共通部分は
となる.
(証明)
と
の任意のベクトルは
と表される. ここで,,
ともに
のベクトルとする. すなわち,
とする. このとき,
を得る. これはの 1 次関係である. ベクトル
,
は 1 次独立なので 係数は
と自明なものに限る. よって共通のベクトルは零ベクトルに限る.
定理 3.181 (部分空間の共通部分) ベクトル
が 1 次独立であるとき, これらのベクトルで生成される空間
の共通部分は
となる.
定理 3.182 (ベクトル空間の和) 部分空間
に対して
が成り立つ.
(証明)
例 3.183 (ベクトル空間の和の具体例)のベクトル
を 1 次独立とする. これらで生成される部分空間
を考える.
より,これらの和は
と表される.
例 3.184 (ベクトル空間の和の具体例)の部分空間で,
を原点を通る直線,
を平面とする. 直線
が原点以外で平面
と交わらないとき,
であり,
が成り立つ. 直線が平面
上にあるとき,
であるので,
が成り立つ.
例 3.185 (ベクトル空間の和の具体例)の部分空間で,
を原点を通る平面,
を平面とする.
であるとき
と
とが交わる点の集合は直線
となる.
である. このとき,
が成り立つ.であるときは,
が成り立つ.
例 3.186 (ベクトル空間の和の具体例)の部分空間で,
,
を原点を通る直線とする.
であるとき,
であるから,
が成り立つ.
例 3.187 (ベクトル空間の和の具体例)の部分空間で,
を原点を通る直線,
を平面とする.
,
であり,
であるから,
が成り立つ.
平成20年2月2日