3.42 ベクトル空間の和

定義 3.177 (ベクトル空間の和)   ベクトル空間 $U$, $V$ に対して

$$U+V= \left\{\left.\,{\vec{u}+\vec{v}}\,\,\right\vert\,\,{\vec{u}\in U,\,\vec{v}\in V}\,\right\}$$

をベクトル空間の和という． 特に，

$$U\cap V=\{\vec{0}\}$$

のとき

$$U+V=U\oplus V$$

と表記し，直和という．

注意 3.178 (直和)   ベクトル空間 $U$, $V$, $W$ が

$$W=U\oplus V$$

であるとする． このとき，$W$ のあるベクトル $\vec{w}$ に対して，

$$\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}, \qquad \vec{u}\in U, \quad \vec{v}\in V$$

をみたす $\vec{u}$, $\vec{v}$ はただ一つ定まる．

定理 3.179 (ベクトル空間の和の次元)   ベクトル空間 $U$, $V$, $W$ が

$$W=U+V$$

をみたすとき，

$$\dim W\leq \dim U+\dim V$$

である．

$$W=U\oplus V$$

をみたすとき，

$$\dim W=\dim U+\dim V$$

である．

定理 3.180 (部分空間の共通部分)   ベクトル

$$\vec{u}_1, \vec{u}_2, \cdots, \vec{u}_n, \vec{v}_1, \vec{v}_2, \cdots, \vec{v}_m$$

が 1 次独立であるとき， これらのベクトルで生成される空間

$$W_1= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{... ... \left\langle \vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_m \right\rangle$$

の共通部分は

$$W_1\cap W_2=\{\vec{0}\}$$

となる．

（証明）     $W_1$ と $W_2$ の任意のベクトルは

$$W_1\ni \vec{a}= a_1\vec{u}_1+ a_2\vec{u}_2+\cdots+ a_n\vec{u}_n, \qquad W_2\ni \vec{b}= b_1\vec{v}_1+ b_2\vec{v}_2+\cdots+ b_m\vec{v}_m$$

と表される． ここで， $\vec{a}$, $\vec{b}$ ともに $W_1\cap W_2$ のベクトルとする． すなわち， $\vec{a}=\vec{b}$ とする． このとき，

$$a_1\vec{u}_1+ a_2\vec{u}_2+\cdots+ a_n\vec{u}_n = b_1\vec{v}_1+ b_2\vec{v}_2+\cdots+ b_m\vec{v}_m$$

$$a_1\vec{u}_1+ a_2\vec{u}_2+\cdots+ a_n\vec{u}_n+ (-b_1)\vec{v}_1+ (-b_2)\vec{v}_2 +\cdots+ (-b_m)\vec{v}_m = \vec{0}$$

を得る． これは $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n,\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n$ の 1 次関係である． ベクトル $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n$, $\vec{v}_1,\cdots,\vec{u}_m$ は 1 次独立なので 係数は

$$a_1=0,\quad a_2=0,\quad \cdots,\quad a_n=0,\quad b_1=0,\quad b_2=0,\quad \cdots,\quad b_m=0$$

と自明なものに限る． よって共通のベクトルは零ベクトル $\vec{a}=\vec{b}=\vec{0}$ に限る．

定理 3.181 (部分空間の共通部分)   ベクトル

$$\vec{u}_1, \vec{u}_2, \cdots, \vec{u}_n, \vec{v}_1, \vec{v}_2, \cdots, \vec{v}_m, \vec{w}_1, \vec{w}_2, \cdots, \vec{w}_l$$

が 1 次独立であるとき， これらのベクトルで生成される空間

$$W_1= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{... ...vec{v}_m,\,\, \vec{w}_1,\,\, \vec{w}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{w}_l \right\rangle$$

の共通部分は

$$W_1\cap W_2= \left\langle \vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_m\right\rangle$$

となる．

定理 3.182 (ベクトル空間の和)   部分空間

$$W_1= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right\rang... ...\qquad W_2= \left\langle \vec{v}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_m\right\rangle _{K}$$

に対して

$$W_1+W_2= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n,\,\, \vec{v}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_m\right\rangle _{K}$$

が成り立つ．

（証明）    

$$W_1+W_2= \left\{\left.\,{\vec{u}+\vec{v}}\,\,\right\vert\,\,{\vec{u}\in W_1,\,\,\vec{v}\in W_2}\,\right\}$$

$$= \left\{\left.\,{c_1\vec{u}_1+\cdots+c_n\vec{u}_n+ \tilde{c}_1\v... ...\,\right\vert\,\,{c_1,\cdots,c_n,\tilde{c}_1,\cdots,\tilde{c}_m\in K}\,\right\}$$

$$= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n,\,\, \vec{v}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_m\right\rangle _{K}.$$

例 3.183 (ベクトル空間の和の具体例)   $\mathbb{R}^3$ のベクトル $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3$ を 1 次独立とする． これらで生成される部分空間

$$W_{1}= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle , \quad... ...,\,\, \vec{u}_3\right\rangle , \quad W_{3}= \left\langle \vec{u}_1\right\rangle$$

を考える．

$$W_1\cap W_2= \left\langle \vec{u}_2\right\rangle , \qquad W_1\cap W_3= \left\langle \vec{u}_1\right\rangle , \qquad W_2\cap W_3= \{\vec{0}\}$$

より，これらの和は

$$W_{12} =W_1+W_2= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle + \l... ...left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3\right\rangle =\mathbb{R}^3,$$

$$W_{13} =W_1+W_3= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle + \l... ...ec{u}_2\right\rangle = \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle =W_1,$$

$$W_{23} =W_2+W_3= \left\langle \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3\right\rangle + \l... ...}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3\right\rangle = W_{2}\oplus W_3 =\mathbb{R}^3,$$

$$W_{123} =W_1+W_2+W_3= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle ... ...gle \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3\right\rangle + \left\langle \vec{u}_1\right\rangle$$

$$= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{... ...\left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3\right\rangle =\mathbb{R}^3$$

と表される．

例 3.184 (ベクトル空間の和の具体例)   $\mathbb{R}^3$ の部分空間で， $A$ を原点を通る直線， $B$ を平面とする． 直線 $A$ が原点以外で平面 $B$ と交わらないとき， $A\cap B=\{\vec{0}\}$ であり，

$$\mathbb{R}^3=A+B=A\oplus B, \qquad 3=\dim\mathbb{R}^3=\dim A+\dim B=1+2$$

が成り立つ． 直線 $A$ が平面 $B$ 上にあるとき， $A\subset B$ であるので，

$$A+B=B$$

が成り立つ．

例 3.185 (ベクトル空間の和の具体例)   $\mathbb{R}^3$ の部分空間で， $A$ を原点を通る平面， $B$ を平面とする． $A\neq B$ であるとき $A$ と $B$ とが交わる点の集合は直線 $C$となる． $A\cap B=C\neq\{\vec{0}\}$ である． このとき，

$$\mathbb{R}^3=A+B, \qquad 3=\dim\mathbb{R}^3\leq \dim A+\dim B=2+2=4$$

が成り立つ． $A=B$ であるときは，

$$A+B=A=B$$

が成り立つ．

例 3.186 (ベクトル空間の和の具体例)   $\mathbb{R}^2$ の部分空間で， $A$, $B$ を原点を通る直線とする． $A\neq B$ であるとき， $A\cap B=\{\vec{0}\}$ であるから，

$$\mathbb{R}^2=A+B=A\oplus B, \qquad 2=\dim\mathbb{R}^2=\dim A+\dim B=1+1$$

が成り立つ．

例 3.187 (ベクトル空間の和の具体例)   $\mathbb{R}^2$ の部分空間で，$A,B$ を原点を通る直線，$C$ を平面とする． $A\subset C$, $B\subset C$ であり， $C=\mathbb{R}^2$ であるから，

$$\mathbb{R}^2=A+B+C$$

が成り立つ．

平成20年2月2日