2.14 外積をベクトルで計算

例 2.29 (外積の計算例)   $\mathbb{R}^3$ の軸 $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ と 同じ向きの単位ベクトル

$$\vec{e}_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\,,\quad \ve... ...0 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{e}_{1}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\,$$ (57)

を考える．このとき

$$\vec{e}_{1}\times\vec{e}_{1}=\vec{0}\,,\quad \vec{e}_{2}\times\vec{e}_{2}=\vec{0}\,,\quad \vec{e}_{3}\times\vec{e}_{3}=\vec{0}\,,$$ (58)

$$\vec{e}_{1}\times\vec{e}_{2}=\vec{e}_{3}\,,\quad \vec{e}_{2}\times\vec{e}_{3}=\vec{e}_{1}\,,\quad \vec{e}_{3}\times\vec{e}_{1}=\vec{e}_{2}\,,$$ (59)

$$\vec{e}_{2}\times\vec{e}_{1}=-\vec{e}_{3}\,,\quad \vec{e}_{3}\times\vec{e}_{2}=-\vec{e}_{1}\,,\quad \vec{e}_{1}\times\vec{e}_{3}=-\vec{e}_{2}\,$$ (60)

が成り立つ．

例 2.30 (外積の計算例)  

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}= \vec{e}_{1}+2\... ...begin{bmatrix}4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}= 4\vec{e}_{1}+5\vec{e}_{2}+6\vec{e}_{3}$$ (61)

を考える．このとき外積は

$$\vec{a}\times\vec{b} = (\vec{e}_{1}+2\vec{e}_{2}+3\vec{e}_{3})\times (4\vec{e}_{1}+5\vec{e}_{2}+6\vec{e}_{3})$$ (62)

$$= 4\vec{e}_{1}\times\vec{e}_{1}+ 5\vec{e}_{1}\times\vec{e}_{2}+ 6\vec{e}_{1}\times\vec{e}_{3}$$ (63)

$$\quad+ 8\vec{e}_{2}\times\vec{e}_{1}+ 10\vec{e}_{2}\times\vec{e}_{2}+ 12\vec{e}_{2}\times\vec{e}_{3}$$ (64)

$$\quad+ 12\vec{e}_{3}\times\vec{e}_{1}+ 15\vec{e}_{3}\times\vec{e}_{2}+ 18\vec{e}_{3}\times\vec{e}_{3}$$ (65)

$$= 4(\vec{0})+ 5\vec{e}_{3}+ 6(-\vec{e}_{2})$$ (66)

$$\quad+ 8(-\vec{e}_{3})+ 10(\vec{0})+ 12\vec{e}_{1}$$ (67)

$$\quad+ 12\vec{e}_{2}+ 15(-\vec{e}_{1})+ 18(\vec{0})$$ (68)

$$= -3\vec{e}_{1}+6\vec{e}_{2}-3\vec{e}_{3}$$ (69)

$$= \begin{bmatrix}-3 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix}$$ (70)

となる．

平成20年4月22日