2.9 関数のかたち

定義 2.32 (単調関数)   関数 $f(x)$ が $x_{1}<x_{2}$ をみたす 任意の点 $x_{1}$, $x_{2}$ ( $\forall x_{1},x_{2}\in I$) に対して

• $f(x_{1})<f(x_{2})$ が成り立つとき， 関数 $f(x)$ は単調増加（monotonic increasing）であると呼ぶ．
• $f(x_{1})\le f(x_{2})$ が成り立つとき， 関数 $f(x)$ は 広義の単調増加（monotonic increasing in the wider sense）で あると呼ぶ．
• $f(x_{1})>f(x_{2})$ が成り立つとき， 関数 $f(x)$ は単調減少（monotonic decreasing）であると呼ぶ．
• $f(x_{1})\ge f(x_{2})$ が成り立つとき， 関数 $f(x)$ は 広義の単調減少（monotonic decreasing in the wider sense）で あると呼ぶ．

単調増加または単調減少である関数を 総称して単調関数（monotonic function）と呼ぶ．

例 2.33 (単調関数の具体例)   関数 $y=f(x)=ax$ を考える． $a>0$ のとき $f(x)$ は $-\infty<x<\infty$ において単調増加である． また $a<0$ のときは $f(x)$ は $-\infty<x<\infty$ において単調減少となる． なぜなら $f(x_{2})-f(x_{1})=a(x_{2}-x_{1})$ であり， $x_{2}-x_{1}>0$ であることより， $a$ の符号により $f(x_{2})$ と $f(x_{1})$ の大小関係が 定まるからである．

定義 2.34 (周期関数)   $f(x+T)=f(x)$ をみたす関数を 周期関数（periodic function）と呼ぶ． $T$ を周期（period）と呼ぶ．

定義 2.35 (奇関数，偶関数)   $f(-x)=-f(x)$ をみたす関数を 奇関数（odd function）と呼ぶ． $f(-x)=(x)$ をみたす関数を 偶関数（even function）と呼ぶ．

問 2.36   奇関数は原点に関して点対称のグラフとなる． 偶関数は $y$ 軸に関して線対称なグラフとなる． これを示せ．

平成22年6月17日